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微積分發展史 中國古代數學對微積分創立的貢獻 微積分的產生一般分為三個階段：極限概念；求積的無限小方法；積分與微分的互逆關系。最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數學家一直追朔到古希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻。對于這方面的工作，古代中國毫不遜色于西方，微積分思想在古代中國早有萌芽，甚至是古希臘數學不能比擬的。公元前7世紀老莊哲學中就有無限可分性和極限思想；公元前4世紀《墨經》中有了有窮、無窮、無限小（最小無內）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時等概念。劉徽公元263年首創的割圓術求圓面積和方錐體積，求得圓周率約等于3 .1416，他的極限思想和無窮小方法，是世界古代極限思想的深刻體現。 微積分思想雖然可追朔古希臘，但它的概念和法則卻是16世紀下半葉，開普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎上產生和發展起來的。而這些思想和方法從劉徽對圓錐、圓臺、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀祖恒求球體積的方法中都可找到。北宋大科學家沈括的《夢溪筆談》獨創了“隙積術”、“會圓術”和“棋局都數術”開創了對高階等差級數求和的研究。 南宋大數學家秦九韶于1274年撰寫了劃時代巨著《數書九章》十八卷，創舉世聞名的“大衍求一術”??增乘開方法解任意次數字（高次）方程近似解，比西方早500多年。特別是13世紀40年代到14世紀初，在主要領域都達到了中國古代數學的高峰，出現了現通稱賈憲三角形的“開方作法本源圖”和增乘開方法、“正負開方術”、“大衍求一術”、“大衍總數術”（一次同余式組解法）、“垛積術”（高階等差級數求和）、“招差術”（高次差內差法）、“天元術”（數字高次方程一般解法）、“四元術”（四元高次方程組解法）、勾股數學、弧矢割圓術、組合數學、計算技術改革和珠算等都是在世界數學史上有重要地位的杰出成果，中國古代數學有了微積分前兩階段的出色工作，其中許多都是微積分得以創立的關鍵。中國已具備了17世紀發明微積分前夕的全部內在條件，已經接近了微積分的大門。可惜中國元朝以后，八股取士制造成了學術上的大倒退，封建統治的文化專制和盲目排外致使包括數學在內的科學日漸衰落，在微積分創立的最關鍵一步落伍了。 微積分的誕生 微積分的產生是數學上的偉大創造。它從生產技術和理論科學的需要中產生，又反過來廣泛影響著生產技術和科學的發展。如今，微積分已是廣大科學工作者以及技術人員不可缺少的工具。 微積分是微分學和積分學的統稱，它的萌芽、發生與發展經歷了漫長的時期。早在古希臘時期，歐多克斯提出了窮竭法。這是微積分的先驅，而我國莊子的《天下篇》中也有 “ 一尺之錘，日取其半，萬世不竭 ” 的極限思想，公元 263 年，劉徽為《九間算術》作注時提出了 “ 割圓術 ” ，用正多邊形來逼近圓周。這是極限論思想的成功運用。 積分概念是由求某些面積、體積和弧長引起的，古希臘數學家要基米德在《拋物線求積法》中用究竭法求出拋物線弓形的面積，人沒有用極限，是 “ 有限 ” 開工的窮竭法。但阿基米德的貢獻真正成為積分學的萌芽。 微分是聯系到對曲線作切線的問題和函數的極大值、極小值問題而產生的。微分方法的第一個真正值得注意的先驅工作起源于 1629 年費爾瑪陳述的概念，他給同了如何確定極大值和極小值的方法。其后英國劍橋大學三一學院的教授巴羅又給出了求切線的方法，進一步推動了微分學概念的產生。前人工作終于使牛頓和萊布尼茨在 17 世紀下半葉各自獨立創立了微積分。 牛頓是那個時代的科學巨人。在他之前，已有了許多積累：哥倫布發現新大陸，哥白尼創立日心說，伽利略出版《力學對話》，開普勒發現行星運動規律--航海的需要，礦山的開發，火松制造提出了一系列的力學和數學的問題，微積分在這樣的條件下誕生是必然的。 牛頓于 1642 年出生于一個貧窮的農民家庭，艱苦的成長環境造就了人類歷史上的一位偉大的科學天才，他對物理問題的洞察力和他用數學方法處理物理問題的能力，都是空前卓越的。盡管取得無數成就，他仍保持謙遜的美德。 如果說牛頓從力學導致 “ 流數術 ” ，那萊布尼茨則是從幾何學上考察切線問題得出微分法。他的第一篇論文刊登于 1684 年的《都市期刊》上，這比牛頓公開發表微積分著作早 3 年，這篇文章給一階微分以明確的定義。 萊布尼茨 1646 年生于萊比錫。 15 歲進入萊比錫大學攻讀法律，勤奮地學習各門科學，不到 20 歲就熟練地掌握了一般課本上的數學、哲學、神學和法學知識。萊布尼茨對數學有超人的直覺，并且對于設計符號很第三。他的微積分符號 “dx\" 和 ”∫” 已被證明是很發用的。 牛頓和萊布尼茨總結了前人的工作，經過各自獨立的研究，掌握了微分法和積分法，并洞悉了二者之間的聯系。因而將他們兩人并列為微積分的創始人是完全正確的，盡管牛頓的研究比萊布尼茨早 10 年，但論文的發表要晚 3 年，由于彼此都是獨立發現的，曾經長期爭論誰是最早的發明者就毫無意義。牛頓和萊尼茨的晚年就是在這場不幸的爭論中度過的。 人類經典物理學大師:牛頓 “我不知道在別人看來，我是什么樣的人；但在我自己看來，我不過就象是一個在海濱玩耍的小孩，為不時發現比尋常更為光滑的一塊卵石或比尋常更為美麗的一片貝殼而沾沾自喜，而對于展現在我面前的浩瀚的真理的海洋，卻全然沒有發現。” 牛頓 少年牛頓 傳說小牛頓把風車的機械原理摸透后，自己制造了一架磨坊的模型，他將老鼠綁在一架有輪子的踏車上，然后在輪子的前面放上一粒玉米，剛好那地方是老鼠可望不可及的位置。老鼠想吃玉米，就不斷的跑動，于是輪子不停的轉動；又一次他放風箏時，在繩子上懸掛著小燈，夜間村人看去驚疑是彗星出現；他還制造了一個小水鐘。每天早晨，小水鐘會自動滴水到他的臉上，催他起床。他還喜歡繪畫、雕刻，尤其喜歡刻日晷，家里墻角、窗臺上到處安放著他刻畫的日晷，用以驗看日影的移動。 牛頓12歲時進了離家不遠的格蘭瑟姆中學。牛頓的母親原希望他成為一個農民，但牛頓本人卻無意于此，而酷愛讀書。隨著年歲的增大，牛頓越發愛好讀書，喜歡沉思，做科學小實驗。他在格蘭瑟姆中學讀書時，曾經寄宿在一位藥劑師家里，使他受到了化學試驗的熏陶。 牛頓在中學時代學習成績并不出眾，只是愛好讀書，對自然現象由好奇心，例如顏色、日影四季的移動，尤其是幾何學、哥白尼的日心說等等。他還分門別類的記讀書筆記，又喜歡別出心裁的作些小工具、小技巧、小發明、小試驗。 當時英國社會滲透基督教新思想，牛頓家里有兩位都以神父為職業的親戚，這可能影響牛頓晚年的宗教生活。從這些平凡的環境和活動中，還看不出幼年的牛頓是個才能出眾異于常人的兒童。 后來迫于生活，母親讓牛頓停學在家務農，贍養家庭。但牛頓一有機會便埋首書卷，以至經常忘了干活。每次，母親叫他同傭人一道上市場，熟悉做交易的生意經時，他便懇求傭人一個人上街，自己則躲在樹叢后看書。有一次，牛頓的舅父起了疑心，就跟蹤牛頓上市鎮去，發現他的外甥伸著腿，躺在草地上，正在聚精會神地鉆研一個數學問題。牛頓的好學精神感動了舅父，于是舅父勸服了母親讓牛頓復學，并鼓勵牛頓上大學讀書。牛頓又重新回到了學校，如饑似渴地汲取著書本上的營養。 求學歲月 1661年，19歲的牛頓以減費生的身份進入劍橋大學三一學院，靠為學院做雜務的收入支付學費，1664年成為獎學金獲得者，1665年獲學士學位。 17世紀中葉，劍橋大學的教育制度還滲透著濃厚的中世紀經院哲學的氣味，當牛頓進入劍橋時，哪里還在傳授一些經院式課程，如邏輯、古文、語法、古代史、神學等等。兩年后三一學院出現了新氣象，盧卡斯創設了一個獨辟蹊徑的講座，規定講授自然科學知識，如地理、物理、天文和數學課程。 講座的第一 在這段學習過程中，牛頓掌握了算術、三角，讀了開普勒的《光學》，笛卡爾的《幾何學》和《哲學原理》，伽利略的《兩大世界體系的對話》，胡克的《顯微圖集》，還有皇家學會的歷史和早期的哲學學報等。 牛頓在巴羅門下的這段時間，是他學習的關鍵時期。巴羅比牛頓大12歲，精于數學和光學，他對牛頓的才華極為贊賞，認為牛頓的數學才超過自己。后來，牛頓在回憶時說道：“ 當時，牛頓在數學上很大程度是依靠自學。他學習了歐幾里得的《幾何原本》、笛卡兒的《幾何學》、沃利斯的《無窮算術》、巴羅的《數學講義》及韋達等許多數學家的著作。其中，對牛頓具有決定性影響的要數笛卡兒的《幾何學》和沃利斯的《無窮算術》，它們將牛頓迅速引導到當時數學最前沿～解析幾何與微積分。1664年，牛頓被選為巴羅的助手，第二年，劍橋大學評議會通過了授予牛頓大學學士學位的決定。 1665～1666年嚴重的鼠疫席卷了倫敦，劍橋離倫敦不遠，為恐波及，學校因此而停課，牛頓于1665年6月離校返鄉。 由于牛頓在劍橋受到數學和自然科學的熏陶和培養，對探索自然現象產生濃厚的興趣，家鄉安靜的環境又使得他的思想展翅飛翔。1665～1666年這段短暫的時光成為牛頓科學生涯中的黃金歲月，他在自然科學領域內思潮奔騰，才華迸發，思考前人從未思考過的問題，踏進了前人沒有涉及的領域，創建了前所未有的驚人業績。 1665年初，牛頓創立級數近似法,以及把任意冪的二項式化為一個級數的規則；同年11月，創立正流數法(微分)；次年1月，用三棱鏡研究顏色理論；5月，開始研究反流數法(積分)。這一年內，牛頓開始想到研究重力問題，并想把重力理論推廣到月球的運動軌道上去。他還從開普勒定律中推導出使行星保持在它們的軌道上的力必定與它們到旋轉中心的距離平方成反比。牛頓見蘋果落地而悟出地球引力的傳說，說的也是此時發生的軼事。 總之，在家鄉居住的兩年中，牛頓以比此后任何時候更為旺盛的精力從事科學創造，并關心自然哲學問題。他的三大成就：微積分、萬有引力、光學分析的思想都是在這時孕育成形的。可以說此時的牛頓已經開始著手描繪他一生大多數科學創造的藍圖。 1667年復活節后不久，牛頓返回到劍橋大學， 偉大的成就～建立微積分 在牛頓的全部科學貢獻中，數學成就占有突出的地位。他數學生涯中的第一項創造性成果就是發現了二項式定理。據牛頓本人回憶，他是在1664年和1665年間的冬天，在研讀 笛卡爾的解析幾何把描述運動的函數關系和幾何曲線相對應。 微分相當于求時間和路程關系得在某點的切線斜率。一個變速的運動物體在一定時間范圍里走過的路程，可以看作是在微小時間間隔里所走路程的和，這就是積分的概念。求積分相當于求時間和速度關系的曲線下面的面積。牛頓從這些基本概念出發，建立了微積分。 微積分的創立是牛頓最卓越的數學成就。牛頓為解決運動問題，才創立這種和物理概念直接聯系的數學理論的，牛頓稱之為"流數術"。它所處理的一些具體問題，如切線問題、求積問題、瞬時速度問題以及函數的極大和極小值問題等，在牛頓前已經得到人們的研究了。但牛頓超越了前人，他站在了更高的角度，對以往分散的努力加以綜合，將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統一為兩類普通的算法??微分和積分，并確立了這兩類運算的互逆關系，從而完成了微積分發明中最關鍵的一步，為近代科學發展提供了最有效的工具，開辟了數學上的一個新紀元。 牛頓沒有及時發表微積分的研究成果，他研究微積分可能比萊布尼茨早一些，但是萊布尼茨所采取的表達形式更加合理，而且關于微積分的著作出版時間也比牛頓早。 在牛頓和萊布尼茨之間，為爭論誰是這門學科的創立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，這種爭吵在各自的學生、支持者和數學家中持續了相當長的一段時間，造成了歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立。英國數學在一個時期里閉關鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數術”中停步不前，因而數學發展整整落后了一百年。 應該說，一門科學的創立決不是某一個人的業績，它必定是經過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎上，最后由某個人或幾個人總結完成的。微積分也是這樣，是牛頓和萊布尼茨在前人的基礎上各自獨立的建立起來的。 1707年，牛頓的代數講義經整理后出版，定名為《普遍算術》。他主要討論了代數基礎及其(通過解方程)在解決各類問題中的應用。書中陳述了代數基本概念與基本運算，用大量實例說明了如何將各類問題化為代數方程，同時對方程的根及其性質進行了深入探討，引出了方程論方面的豐碩成果，如，他得出了方程的根與其判別式之間的關系，指出可以利用方程系數確定方程根之冪的和數，即“牛頓冪和公式”。 牛頓對解析幾何與綜合幾何都有貢獻。他在1736年出版的《解析幾何》中引入了曲率中心，給出密切線圓(或稱曲線圓)概念，提出曲率公式及計算曲線的曲率方法。并將自己的許多研究成果總結成專論《三次曲線枚舉》，于1704年發表。此外，他的數學工作還涉及數值分析、概率論和初等數論等眾多領域。 偉大的成就～對光學的三大貢獻 在牛頓以前，墨子、培根、達?芬奇等人都研究過光學現象。反射定律是人們很早就認識的光學定律之一。近代科學興起的時候，伽利略靠望遠鏡發現了“新宇宙”，震驚了世界。荷蘭數學家斯涅爾首先發現了光的折射定律。笛卡爾提出了光的微粒說 牛頓以及跟他差不多同時代的胡克、惠更斯等人，也象伽利略、笛卡爾等前輩一樣，用極大的興趣和熱情對光學進行研究。1666年，牛頓在家休假期間，得到了三棱鏡，他用來進行了著名的色散試驗。一束太陽光通過三棱鏡后，分解成幾種顏色的光譜帶，牛頓再用一塊帶狹縫的擋板把其他顏色的光擋住，只讓一種顏色的光在通過第二個三棱鏡，結果出來的只是同樣顏色的光。這樣，他就發現了白光是由各種不同顏色的光組成的，這是第一大貢獻。 牛頓為了驗證這個發現，設法把幾種不同的單色光合成白光，并且計算出不同顏色光的折射率，精確地說明了色散現象。揭開了物質的顏色之謎，原來物質的色彩是不同顏色的光在物體上有不同的反射率和折射率造成的。公元1672年，牛頓把自己的研究成果發表在《皇家學會哲學雜志》上，這是他第一次公開發表的論文。 許多人研究光學是為了改進折射望遠鏡。牛頓由于發現了白光的組成，認為折射望遠鏡透鏡的色散現象是無法消除的(后來有人用具有不同折射率的玻璃組成的透鏡消除了色散現象)，就設計和制造了反射望遠鏡。 牛頓不但擅長數學計算，而且能夠自己動手制造各種試驗設備并且作精細實驗。為了制造望遠鏡，他自己設計了研磨拋光機，實驗各種研磨材料。公元1668年，他制成了第一架反射望遠鏡樣機，這是第二大貢獻。公元1671年，牛頓把經過改進得反射望遠鏡獻給了皇家學會，牛頓名聲大震，并被選為皇家學會會員。反射望遠鏡的發明奠定了現代大型光學天文望遠鏡的基礎。 同時，牛頓還進行了大量的觀察實驗和數學計算，比如研究惠更斯發現的冰川石的異常折射現象，胡克發現的肥皂泡的色彩現象，“牛頓環”的光學現象等等。 牛頓還提出了光的“微粒說”，認為光是由微粒形成的，并且走的是最快速的直線運動路徑。他的“微粒說”與后來惠更斯的“波動說”構成了關于光的兩大基本理論。此外，他還制作了牛頓色盤等多種光學儀器。 偉大的成就～構筑力學大廈 牛頓是經典力學理論的集大成者。他系統的總結了伽利略、開普勒和惠更斯等人的工作，得到了著名的萬有引力定律和牛頓運動三定律。 在牛頓以前，天文學是最顯赫的學科。但是為什么行星一定按照一定規律圍繞太陽運行？天文學家無法圓滿解釋這個問題。萬有引力的發現說明，天上星體運動和地面上物體運動都受到同樣的規律??力學規律的支配。 早在牛頓發現萬有引力定律以前，已經有許多科學家嚴肅認真的考慮過這個問題。比如開普勒就認識到，要維持行星沿橢圓軌道運動必定有一種力在起作用，他認為這種力類似磁力，就像磁石吸鐵一樣。1659年，惠更斯從研究擺的運動中發現，保持物體沿圓周軌道運動需要一種向心力。胡克等人認為是引力，并且試圖推到引力和距離的關系。 1664年，胡克發現彗星靠近太陽時軌道彎曲是因為太陽引力作用的結果；1673年，惠更斯推導出向心力定律；1679年，胡克和哈雷從向心力定律和開普勒第三定律，推導出維持行星運動的萬有引力和距離的平方成反比。 牛頓自己回憶，1666年前后，他在老家居住的時候已經考慮過萬有引力的問題。最有名的一個說法是：在假期里，牛頓常常在花園里小坐片刻。有一次，象以往屢次發生的那樣，一個蘋果從樹上掉了下來…… 一個蘋果的偶然落地，卻是人類思想史的一個轉折點，它使那個坐在花園里的人的頭腦開了竅，引起他的沉思：究竟是什么原因使一切物體都受到差不多總是朝向地心的吸引呢？牛頓思索著。終于，他發現了對人類具有劃時代意義的萬有引力。 牛頓高明的地方就在于他解決了胡克等人沒有能夠解決的數學論證問題。1679年，胡克曾經寫信問牛頓，能不能根據向心力定律和引力同距離的平方成反比的定律，來證明行星沿橢圓軌道運動。牛頓沒有回答這個問題。1685年，哈雷登門拜訪牛頓時，牛頓已經發現了萬有引力定律：兩個物體之間有引力，引力和距離的平方成反比，和兩個物體質量的乘積成正比。 當時已經有了地球半徑、日地距離等精確的數據可以供計算使用。牛頓向哈雷證明地球的引力是使月亮圍繞地球運動的向心力，也證明了在太陽引力作用下，行星運動符合開普勒運動三定律。 在哈雷的敦促下，1686年底，牛頓寫成劃時代的偉大著作《自然哲學的數學原理》一書。皇家學會經費不足，出不了這本書，后來靠了哈雷的資助，這部科學史上最偉大的著作之一才能夠在1687年出版。 牛頓在這部書中，從力學的基本概念(質量、動量、慣性、力)和基本定律(運動三定律)出發，運用他所發明的微積分這一銳利的數學工具，不但從數學上論證了萬有引力定律，而且把經典力學確立為完整而嚴密的體系，把天體力學和地面上的物體力學統一起來，實現了物理學史上第一次大的綜合。 站在巨人的肩上 牛頓的研究領域非常廣泛，他除了在數學、光學、力學等方面做出卓越貢獻外，他還花費大量精力進行化學實驗。他常常六個星期一直留在實驗室里，不分晝夜的工作。他在化學上花費的時間并不少，卻幾乎沒有取得什么顯著的成就。為什么同樣一個偉大的牛頓，在不同的領域取得的成就竟那么不一樣呢？ 其中一個原因就是各個學科處在不同的發展階段。在力學和天文學方面，有伽利略、開普勒、胡克、惠更斯等人的努力，牛頓有可能用已經準備好的材料，建立起一座宏偉壯麗的力學大廈。正象他自己所說的那樣“如果說我看得遠，那是因為我站在巨人的肩上”。而在化學方面，因為正確的道路還沒有開辟出來，牛頓沒法走到可以砍伐材料的地方。 牛頓在臨終前對自己的生活道路是這樣總結的：“我不知道在別人看來，我是什么樣的人；但在我自己看來，我不過就象是一個在海濱玩耍的小孩，為不時發現比尋常更為光滑的一塊卵石或比尋常更為美麗的一片貝殼而沾沾自喜，而對于展現在我面前的浩瀚的真理的海洋，卻全然沒有發現。” 這當然是牛頓的謙遜。 怪異的牛頓 牛頓并不善于教學，他在講授新近發現的微積分時，學生都接受不了。但在解決疑難問題方面的能力，他卻遠遠超過了常人。還是學生時，牛頓就發現了一種計算無限量的方法。他用這個秘密的方法，算出了雙曲面積到二百五十位數。他曾經高價買下了一個棱鏡，并把它作為科學研究的工具，用它試驗了白光分解為的有顏色的光。 開始，他并不愿意發表他的觀察所得，他的發現都只是一種個人的消遣，為的是使自己在寂靜的書齋中解悶，他獨自遨游于自己所創造的超級世界里。后來，在好友哈雷的竭力勸說下，才勉強同意出版他的手稿，才有劃時代巨著《自然哲學的數學原理》的問世。 作為大學教授，牛頓常常忙得不修邊幅，往往領帶不結，襪帶不系好，馬褲也不紐扣，就走進了大學餐廳。有一次，他在向一位姑娘求婚時思想又開了小差，他腦海了只剩下了無窮量的二項式定理。他抓住姑娘的手指，錯誤的把它當成通煙斗的通條，硬往煙斗里塞，痛得姑娘大叫，離他而去。牛頓也因此終生未娶。 牛頓從容不迫地觀察日常生活中的小事，結果作出了科學史上一個個重要的發現。他馬虎拖沓，曾經鬧過許多的笑話。一次，他邊讀書，邊煮雞蛋，等他揭開鍋想吃雞蛋時，卻發現鍋里是一只懷表。還有一次，他請朋友吃飯，當飯菜準備好時，牛頓突然想到一個問題，便獨自進了內室，朋友等了他好久還是不見他出來，于是朋友就自己動手把那份雞全吃了，雞骨頭留在盤子，不告而別了。等牛頓想起，出來后，發現了盤子里的骨頭，以為自己已經吃過了，便轉身又進了內室，繼續研究他的問題。 牛頓晚年 但是由于受時代的限制，牛頓基本上是一個形而上學的機械唯物主義者。他認為運動只是機械力學的運動，是空間位置的變化；宇宙和太陽一樣是沒有發展變化的；靠了萬有引力的作用，恒星永遠在一個固定不變的位置上…… 隨著科學聲譽的提高，牛頓的政治地位也得到了提升。1689年，他被當選為國會中的大學代表。作為國會議員，牛頓逐漸開始疏遠給他帶來巨大成就的科學。他不時表示出對以他為代表的領域的厭惡。同時，他的大量的時間花費在了和同時代的著名科學家如胡克、萊布尼茲等進行科學優先權的爭論上。 晚年的牛頓在倫敦過著堂皇的生活，1705年他被安妮女王封為貴族。此時的牛頓非常富有，被普遍認為是生存著的最偉大的科學家。他擔任英國皇家學會會長，在他任職的二十四年時間里，他以鐵拳統治著學會。沒有他的同意，任何人都不能被選舉。 晚年的牛頓開始致力于對神學的研究，他否定哲學的指導作用，虔誠地相信上帝，埋頭于寫以神學為題材的著作。當他遇到難以解釋的天體運動時，竟提出了“神的第一推動力”的謬論。他說“上帝統治萬物，我們是他的仆人而敬畏他、崇拜他”。 讓人們歡呼這樣一位多么偉大的人類榮耀曾經在世界上存在。 微積分的發明歷程 如果將整個數學比作一棵大樹，那么初等數學是樹的根，名目繁多的數學分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。 從17世紀開始，隨著社會的進步和生產力的發展，以及如航海、天文、礦山建設等許多課題要解決，數學也開始研究變化著的量，數學進入了“變量數學”時代，即微積分不斷完善成為一門學科。整個17世紀有數十位科學家為微積分的創立做了開創性的研究，但使微積分成為數學的一個重要分枝還是牛頓和萊布尼茨。 微積分的思想 從微積分成為一門學科來說，是在17世紀，但是，微分和積分的思想早在古代就已經產生了。公元前3世紀，古希臘的數學家、力學家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圓的測量》和《論球與圓柱》中就已含有微積分的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉雙曲線的體積的問題中就隱含著近代積分的思想。作為微積分的基礎極限理論來說，早在我國的古代就有非常詳盡的論述，比如莊周所著的《莊子》一書中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時期的高徽在他的割圓術中提出“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”。他在1615年《測量酒桶體積的新科學》一書中，就把曲線看成邊數無限增大的直線形。圓的面積就是無窮多的三角形面積之和，這些都可視為黃型極限思想的佳作。意大利數學家卡瓦列利在1635年出版的《連續不可分幾何》，就把曲線看成無限多條線段（不可分量）拼成的。這些都為后來的微積分的誕生作了思想準備。 解析幾何為微積分的創立奠定了基礎 由于16世紀以后歐洲封建社會日趨沒落，取而代之的是資本主義的興起，為科學技術的發展開創了美好前景。到了17世紀，有許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決上述問題做了大量的研究工作。 笛卡爾1637年發表了《科學中的正確運用理性和追求真理的方法論》（簡稱《方法論》），從而確立了解析幾何，表明了幾何問題不僅可以歸結成為代數形式，而且可以通過代數變換來發現幾何性質，證明幾何性質。他不僅用坐標表示點的位置，而且把點的坐標運用到曲線上。他認為點移動成線，所以方程不僅可表示已知數與未知數之間的關系，表示變量與變量之間的關系，還可以表示曲線，于是方程與曲線之間建立起對應關系。此外，笛卡爾打破了表示體積面積及長度的量之間不可相加減的束縛。于是幾何圖形各種量之間可以化為代數量之間的關系，使得幾何與代數在數量上統一了起來。笛卡爾就這樣把相互對立著的“數”與“形”統一起來，從而實現了數學史的一次飛躍，而且更重要的是它為微積分的成熟提供了必要的條件，從而開拓了變量數學的廣闊空間。 牛頓的“流數術” 數學史的另一次飛躍就是研究“形”的變化。17世紀生產力的發展推動了自然科學和技術的發展，不但已有的數學成果得到進一步鞏固、充實和擴大，而且由于實踐的需要，開始研究運動著的物體和變化的量，這樣就獲得了變量的概念，研究變化著的量的一般性和它們之間的依賴關系。到了17世紀下半葉，在前人創造性研究的基礎上，英國大數學家、物理學家艾薩克?牛頓（1642~1727）是從物理學的角度研究微積分的，他為了解決運動問題，創立了一種和物理概念直接聯系的數學理論，即牛頓稱之為“流數術”的理論，這實際上就是微積分理論。牛頓的有關“流數術”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運用無窮多項方程的計算法》和《流數術和無窮極數》。這些概念是力不概念的數學反映。牛頓認為任何運動存在于空間，依賴于時間，因而他把時間作為自變量，把和時間有關的固變量作為流量，不僅這樣，他還把幾何圖形――線、角、體，都看作力學位移的結果。因而，一切變量都是流量。 牛頓指出，“流數術”基本上包括三類問題。 （1）已知流量之間的關系，求它們的流數的關系，這相當于微分學。 （2）已知表示流數之間的關系的方程，求相應的流量間的關系。這相當于積分學，牛頓意義下的積分法不僅包括求原函數，還包括解微分方程。 （3）“流數術”應用范圍包括計算曲線的極大值、極小值，求曲線的切線和曲率，求曲線長度及計算曲邊形面積等。 牛頓已完全清楚上述（1）與（2）兩類問題中運算是互逆的運算，于是建立起微分學和積分學之間的聯系。 牛頓在1665年5月20日的一份手稿中提到“流數術”，因而有人把這一天作為誕生微積分的標志。 萊布尼茨使微積分更加簡潔和準確 而德國數學家萊布尼茨（G.W. Leibniz 1646~1716）則是從幾何方面獨立發現了微積分，在牛頓和萊布尼茨之前至少有數十位數學家研究過，他們為微積分的誕生作了開創性貢獻。但是他們這些工作是零碎的，不連貫的，缺乏統一性。萊布尼茨創立微積分的途徑與方法與牛頓是不同的。萊布尼茨是經過研究曲線的切線和曲線包圍的面積，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則的。牛頓在微積分的應用上更多地結合了運動學，造詣較萊布尼茨高一等，但萊布尼茨的表達形式采用數學符號卻又遠遠優于牛頓一籌，既簡潔又準確地揭示出微積分的實質，強有力地促進了高等數學的發展。 萊布尼茨創造的微積分符號，正像印度――阿拉伯數碼促進了算術與代數發展一樣，促進了微積分學的發展。萊布尼茨是數學史上最杰出的符號創造者之一。 牛頓當時采用的微分和積分符號現在不用了，而萊布尼茨所采用的符號現今仍在使用。萊布尼茨比別人更早更明確地認識到，好的符號能大大節省思維勞動，運用符號的技巧是數學成功的關鍵之一。 留給后人的思考 從始創微積分的時間說牛頓比萊布尼茨大約早10年，但從正式公開發表的時間說牛頓卻比萊布尼茨要晚。牛頓系統論述“流數術”的重要著作《流數術和無窮極數》是1671年寫成的，但因1676年倫敦大火殃及印刷廠，致使該書1736年才發表，這比萊布尼茨的論文要晚半個世紀。另外也有書中記載：牛頓于1687年7月，用拉丁文發表了他的巨著《自然哲學的數學原理》，在此文中提出了微積分的思想。他用“ 不幸的是牛頓和萊布尼茨各自創立了微積分之后，歷史上發生了優先權的爭論，從而使數學家分為兩派，歐洲大陸數學家兩派，歐洲大陸的數學家，尤其是瑞士數學家雅科布?貝努利（1654~1705）和約翰?貝努利（1667~1748）兄弟支持萊布尼茨，而英國數學家捍衛牛頓，兩派爭吵激烈，甚至尖銳到互相敵對、嘲笑。牛頓死后，經過調查核實，事實上，他們各自獨立地創立了微積分。這件事的結果致使英國和歐洲大陸的數學家停止了思想交流，使英國人在數學上落后了一百多年，因為牛頓在《自然哲學的數學原理》中使用的是幾何方法，英國人差不多在一百多年中照舊使用幾何工具，而大陸的數學家繼續使用萊布尼茨的分析方法，并使微積分更加完善，在這100年中英國甚至連大陸通用的微積分都不認識。雖然如此，科學家對待科學謹慎和刻苦的精神還是值得我們學習的。 萊布尼茲 (1646-1716) 萊布尼茲是17、18世紀之交德國最重要的數學家、物理學家和哲學家，一個舉世罕見的科學天才。他博覽群書，涉獵百科，對豐富人類的科學知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻。 生平事跡 萊布尼茲出生于德國東部萊比錫的一個書香之家，廣泛接觸古希臘羅馬文化，閱讀了許多著名學者的著作，由此而獲得了堅實的文化功底和明確的學術目標。15歲時，他進了萊比錫大學學習法律，還廣泛閱讀了培根、開普勒、伽利略、等人的著作，并對他們的著述進行深入的思考和評價。在聽了教授講授歐幾里德的《幾何原本》的課程后，萊布尼茲對數學產生了濃厚的興趣。17歲時他在耶拿大學學習了短時期的數學，并獲得了哲學碩士學位。 20歲時他發表了第一篇數學論文《論組合的藝術》。這是一篇關于數理邏輯的文章，其基本思想是出于想把理論的真理性論證歸結于一種計算的結果。這篇論文雖不夠成熟，但卻閃耀著創新的智慧和數學才華。 萊布尼茲在阿爾特道夫大學獲得博士學位后便投身外交界。在出訪巴黎時，萊布尼茲深受帕斯卡事跡的鼓舞，決心鉆研高等數學，并研究了笛卡兒、費爾馬、帕斯卡等人的著作。他的興趣已明顯地朝向了數學和自然科學，開始了對無窮小算法的研究，獨立地創立了微積分的基本概念與算法，和牛頓并蒂雙輝共同奠定了微積分學。1700年被選為巴黎科學院院士，促成建立了柏林科學院并任首任院長。 始創微積分 17世紀下半葉，歐洲科學技術迅猛發展，由于生產力的提高和社會各方面的迫切需要，經各國科學家的努力與歷史的積累，建立在函數與極限概念基礎上的微積分理論應運而生了。微積分思想，最早可以追溯到希臘由阿基米德等人提出的計算面積和體積的方法。1665年牛頓創始了微積分，萊布尼茲在1673-1676年間也發表了微積分思想的論著。以前，微分和積分作為兩種數學運算、兩類數學問題，是分別加以研究的。卡瓦列里、巴羅、沃利斯等人得到了一系列求面積（積分）、求切線斜率（導數）的重要結果，但這些結果都是孤立的，不連貫的。只有萊布尼茲和牛頓將積分和微分真正溝通起來，明確地找到了兩者內在的直接聯系：微分和積分是互逆的兩種運算。而這是微積分建立的關鍵所在。只有確立了這一基本關系，才能在此基礎上構建系統的微積分學。并從對各種函數的微分和求積公式中，總結出共同的算法程序，使微積分方法普遍化，發展成用符號表示的微積分運算法則。 然而關于微積分創立的優先權，數學上曾掀起了一場激烈的爭論。實際上，牛頓在微積分方面的研究雖早于萊布尼茲，但萊布尼茲成果的發表則早于牛頓。萊布尼茲在1684年10月發表的《教師學報》上的論文，“一種求極大極小的奇妙類型的計算”，在數學史上被認為是最早發表的微積分文獻。牛頓在1687年出版的《自然哲學的數學原理》的第一版和第二版也寫道：“十年前在我和最杰出的幾何學家G、W萊布尼茲的通信中，我表明我已經知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法，……這位最卓越的科學家在回信中寫道，他也發現了一種同樣的方法。他并訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒有什么不同，除了他的措詞和符號而外。”因此，后來人們公認牛頓和萊布尼茲是各自獨立地創建微積分的。牛頓從物理學出發，運用集合方法研究微積分，其應用上更多地結合了運動學，造詣高于萊布尼茲。萊布尼茲則從幾何問題出發，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則，其數學的嚴密性與系統性是牛頓所不及的。萊布尼茲認識到好的數學符號能節省思維勞動，運用符號的技巧是數學成功的關鍵之一。因此，他發明了一套適用的符號系統，如，引入dx 表示x的微分，∫表示積分，dnx表示n階微分等等。這些符號進一步促進了微積分學的發展。 1713年，萊布尼茲發表了《微積分的歷史和起源》一文，總結了自己創立微積分學的思路，說明了自己成就的獨立性。 萊布尼茲在數學方面的成就是巨大的，他的研究及成果滲透到高等數學的許多領域。他的一系列重要數學理論的提出，為后來的數學理論奠定了基礎。 萊布尼茲曾討論過負數和復數的性質，得出復數的對數并不存在，共扼復數的和是實數的結論。在后來的研究中，萊布尼茲證明了自己結論是正確的。他還對線性方程組進行研究，對消元法從理論上進行了探討，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論。此外，萊布尼茲還創立了符號邏輯學的基本概念，發明了能夠進行加、減、乘、除及開方運算的計算機和二進制，為計算機的現代發展奠定了堅實的基礎。 豐碩的物理學成果 萊布尼茲的物理學成就也是非凡的。他發表了《物理學新假說》，提出了具體運動原理和抽象運動原理，認為運動著的物體，不論多么渺小，他將帶著處于完全靜止狀態的物體的部分一起運動。他還對笛卡兒提出的動量守恒原理進行了認真的探討，提出了能量守恒原理的雛型，并在《教師學報》上發表了“關于笛卡兒和其他人在自然定律方面的顯著錯誤的簡短證明”，提出了運動的量的問題，證明了動量不能作為運動的度量單位，并引入動能概念，第一次認為動能守恒是一個普通的物理原理。他又充分地證明了“永動機是不可能”的觀點。他也反對牛頓的絕對時空觀，認為“沒有物質也就沒有空見，空間本身不是絕對的實在性”，“空間和物質的區別就象時間和運動的區別一樣，可是這些東西雖有區別，卻是不可分離的”。在光學方面，萊布尼茲也有所建樹，他利用微積分中的求極值方法，推導出了折射定律，并嘗試用求極值的方法解釋光學基本定律。可以說萊布尼茲的物理學研究一直是朝著為物理學建立一個類似歐氏幾何的公理系統的目標前進的。 發明乘法計算機 德國人萊布尼茲發明了乘法計算機，他受中國易經八卦的影響最早提出二進制運算法則。萊布尼茲對帕斯卡的加法機很感興趣。于是，萊布尼茲也開始了對計算機的研究。1672年1月，萊布尼茲搞出了一個木制的機器模型，向英國皇家學會會員們做了演示。但這個模型只能說明原理，不能正常運行。 1674年，最后定型的那臺機器，就是由奧利韋一人裝配而成的。萊布尼茲的這臺乘法機長約 中西文化交流之倡導者 萊布尼茲對中國的科學、文化和哲學思想十分關注，是最早研究中國文化和中國哲學的德國人。他向耶酥會來華傳教士格里馬爾迪了解到了許多有關中國的情況，包括養蠶紡織、造紙印染、冶金礦產、天文地理、數學文字等等，并將這些資料編輯成冊出版。他認為中西相互之間應建立一種交流認識的新型關系。在《中國近況》一書的緒論中，萊布尼茲寫道：“全人類最偉大的文化和最發達的文明仿佛今天匯集在我們大陸的兩端，即匯集在歐洲和位于地球另一端的東方的歐洲??中國。”“中國這一文明古國與歐洲相比，面積相當，但人口數量則已超過。”“在日常生活以及經驗地應付自然的技能方面，我們是不分伯仲的。我們雙方各自都具備通過相互交流使對方受益的技能。在思考的縝密和理性的思辯方面，顯然我們要略勝一籌”，但“在時間哲學，即在生活與人類實際方面的倫理以及治國學說方面，我們實在是相形見拙了。”在這里，萊布尼茲不僅顯示出了不帶“歐洲中心論”色彩的虛心好學精神，而且為中西文化雙向交流描繪了宏偉的藍圖，極力推動這種交流向縱深發展，是東西方人民相互學習，取長補短，共同繁榮進步。萊布尼茲為促進中西文化交流做出了畢生的努力，產生了廣泛而深遠的影響。 阿基米德先于牛頓闡述微積分 險改人類歷史 據美國媒體近日報道，1666年，牛頓(1642年-1727年)發現了微積分，世界科學界公認為近代物理學從這一年開始。然而美國科學家根據一本失傳2000多年的古希臘遺稿發現，早在公元前200年左右，古希臘數學家阿基米德(公元前287年-前212年)就闡述了現代微積分學理論的精粹，并發明出了一種用于微積分計算的特殊工具。美國科學家克里斯?羅里斯稱，如果這本阿基米德“失傳遺稿”早牛頓100年被世人發現，那么人類科技進程可能就會提前100年，人類現在說不定都已經登上了火星。 遺稿800年前遭蹂躪 據報道，這本阿基米德失傳遺稿如今躺在美國馬里蘭州巴爾的摩市的“沃特斯藝術博物館”里，該館珍稀古籍手稿保管專家阿比蓋爾?庫恩特接受美國記者采訪時稱，許多美國科學家目前正在辛苦地破解這本“阿基米德失傳遺稿”中的古老秘密，這本阿基米德遺稿很可能包含了近代科學家殫心竭慮幾世紀都沒有發現的東西。 林群：機會來自積累 “科學創新的必要條件之一是科學家的興趣。科技發展的最根本目的是服務于人類，改變人類的生活方式。在科學創新的指導方向上，國家應樹立戰略性指導思想。”九屆全國人大代表、林群院士在兩會期間就科技創新問題接受本報記者采訪時說，“指引科學家產生‘大興趣’還是‘小興趣’，是從全局考慮還是從細節考慮，是非常重要的。” 林群代表認為，在這方面，我們與歐洲的科學傳統相比，嗅覺和敏感性要差一些。必須在此方面加強和改進，才有助于我國在基礎研究以及有關國計民生和國家利益的科學課題上取得重大突破和原始性創新。 林群院士說，在基礎研究領域，取得重大突破或者產生原始性創新并不是一朝一夕的事情，任何一個重大突破都是通過長時間的積累，最后由少數人站在巨人的肩膀上完成的。 現代科學研究的傳統在歐洲，大多數重大發現也在歐洲產生。回顧歐洲科學的發展史，在數學領域最偉大的創新之作是公元前300年前歐幾里得《幾何原本》，這是人類歷史上第一次系統提出理性的思維方法。第二次重大創新則是微積分方法的誕生，而這之間經過了2000年的時間，最后才由牛頓等幾個“幸運兒”摘到了“蘋果”。再看中國的數學研究，在公元500年前后就有《九章算術》，而一千多年后吳文俊院士在繼承中國算法傳統的基礎上，開創了數學機械化的研究，取得了重大突破。因此，在浩瀚的科學海洋中，珍珠的產生和發現總是要經過漫長的時間，沒有大多數人的不懈探索，就沒有少數拾貝者的成功，這是可遇而不可求的。他說，在這個提倡和鼓勵創新的時代，應該謹慎而理智地看到，“創新”一詞已經被用得太多了，連研究生的畢業論文評定也流行加上“創新”二字。 林群院士強調，只有產生新的學科或對人類生活方式產生改變的科技成果才能真正稱之為重大原始性創新。在20世紀評出的百年百位科學家中，圖靈、哥德爾和馮?諾伊曼三位數學家雖然沒有獲得過菲爾茨獎(相當于數學的諾貝爾獎)，但是他們從事的數學研究卻給計算機的誕生、設計和發展奠定了理論基礎，可以說，沒有他們的工作，就不會有計算機的今天。這樣的研究成果才是真正的重大原始性創新。 林群認為，目前，我國正處于經濟快速發展的重要階段，科技作為第一生產力，得到了政府的高度重視和大力支持，本屆政府對科研領域的支持超過了歷屆。林群說，朱?基總理在四年前指出，科教興國戰略是本屆政府的最大任務。從1995年提出科教興國戰略到1998年科學院實施知識創新工程，“九五”以后，我國對原始性創新加大了支持力度，加快了革新步伐。從科技部到中科院，都緊鑼密鼓地行動起來，為科技人員創新創造條件。重大科技創新產生的外部條件已經形成。政府的投入加大，以及硬件水平逐漸與世界接軌，并不等于會馬到成功。一個課題的開展，從建立實驗室到組織人才，這個過程一般需要2年左右，科研取得一定成果通常需要3～5年時間，而取得重大成果往往需要5年甚至10年的時間。因此，創新的產生不能急于求成。 |
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