彩票中的數(shù)學(xué)知識(shí)

自從彩票面市以來，它已經(jīng)成為全國(guó)各地一大熱點(diǎn)。而電腦彩票尤其受人歡迎，因?yàn)樗c以前的一些所謂的傳統(tǒng)型彩票相比，誘人之處也許在于它允許彩民們自己選擇號(hào)碼，使彩民感到能夠自己掌握命運(yùn)和獲得財(cái)富。而為了準(zhǔn)確地選擇號(hào)碼，一些掌握統(tǒng)計(jì)和數(shù)學(xué)理論的人士紛紛把他們的理論知識(shí)和彩票的實(shí)際情況結(jié)合起來，試圖在五百萬(wàn)的頂峰插上他們的旗幟，當(dāng)然獲得成功的只是極小的一部分人。正是這些人的成功，使別人認(rèn)識(shí)到掌握彩票中的數(shù)學(xué)知識(shí)的重要性。對(duì)于那些對(duì)數(shù)學(xué)不甚了解的彩民們，他們渴望學(xué)到一些簡(jiǎn)明易懂又行之有效的東西。因此，筆者想通過對(duì)彩票中的數(shù)學(xué)知識(shí)的研究，能在購(gòu)買彩票時(shí)給眾多的彩民助上一臂之力。

排列

一、加法原則和乘法原則

在求排列組合時(shí)，經(jīng)常要用到兩條原則----加法原則和乘法原則。

先看下面的問題：

從甲地到乙地，可以乘火車，可以乘汽車，也可以乘輪船。一天中，火車有4班，汽車有2班，輪船有3班。問從甲地到乙地共有幾種走法？

解：因?yàn)槌嘶疖囉?/span>4種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，因此從甲地到乙地共有4+2+3=9種不同的走法。

一般地，有如下的原則：

加法原則：完成一件事，有n類辦法，在第一類辦法中有m₁種不同的方法，在第二類辦法中有m₂種不同的方法，……，在第n類辦法中有m_n種不同的方法。那么，完成這件事共有N＝m₁十m₂十……十m_n 種不同的方法。

再看下面的問題：

從甲地到丙地必須經(jīng)過乙地，從甲地到乙地有A，B，C，D四條道路；從乙地到丙地有H，I，J三條道路。問從甲地到丙地共有幾種走法？

因?yàn)閺募椎氐揭业赜?/span>4種走法，而采用每一種走法走到乙地后，又可有3種走法到丙地。所以共有 4*3=12種不同的走法。

一般地，有如下的原則：

乘法原則：完成一件事，有n個(gè)步驟，第一步有m₁種不同的方法，第二步有m₂種不同的方法，……，第n步有m_n種不同的方法，必須通過每一步驟，才算完成這件事，那么完成這件事共有N＝m₁×m₂×……×m_n 種不同的方法。

二、排列知識(shí)

（一）無重復(fù)的排列

例：由數(shù)字1，2，3，4可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?

解：題中所指“沒有重復(fù)數(shù)字”就是三位數(shù)中的三個(gè)數(shù)字不能是同一數(shù)字。根據(jù)題意。

第一步，確定百位上的數(shù)字。在1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，共有4種方法；假設(shè)我們?nèi)?/span>3作為百位數(shù)。

第二步，確定十位上的數(shù)字。當(dāng)百位上的數(shù)字確定以后，十位上的數(shù)字只能從余下的三個(gè)數(shù)字中1，2，4中去取，共有3種方法；假設(shè)我們?nèi)?/span>2作為十位數(shù)。

第三步，確定個(gè)位上的數(shù)字。當(dāng)百位、十位上的數(shù)字都確定以后，個(gè)位上的數(shù)字只能從余下的兩個(gè)數(shù)字1和4中去取，共有2種方法。

根據(jù)乘法原理，從四個(gè)不同的數(shù)字中，每次取出三個(gè)排成三位數(shù)的方法共有 4×3×2＝24 種。就是說，共可以排成24個(gè)不同的三位數(shù)。

定義1：一般地說，從n個(gè)不同元素中，任取m (m＜＝n)個(gè)元素(這里只研究被取出的元素各不相同的情況)，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出個(gè)m元素的一個(gè)排列。

從排列的定義知道，如果兩個(gè)排列相同，不僅這兩個(gè)排列的元素相同，而且排列的順序也必須完全相同。如果所取的元素不完全相同，如問題中的三位數(shù)“123”和“321”，雖然它們的元素相同，但排列順序不同，也是兩個(gè)不同的排列。

（二）有重復(fù)的排列

上一講我們討論的排列中是不允許有重復(fù)的元素，但是很多情況下我們碰到的是有重復(fù)元素的問題，所以有必要對(duì)此作一下討論。

在定義前，我們先看一下下面的例子：

例：由1－9這九個(gè)數(shù)字，共可組成多少個(gè)六位數(shù)？（每個(gè)位置上的數(shù)字可以重復(fù)）

解：1，先確定十萬(wàn)位上的數(shù)字。在1－9這九個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，共有9種方法。

2，確定萬(wàn)位上的數(shù)字。在1－9這九個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，還是有9種方法。

3，千位，百位，十位和個(gè)位上的數(shù)字取法如上，都為9種。

4，根據(jù)乘法原理，共有 9×9×9×9×9×9＝531441 種取法。

定義2：一般地說，從n個(gè)不同元素中，任取m (m＜＝n)個(gè)元素(元素可以重復(fù)），按照一定的順序排成一列，叫做有重復(fù)的排列。

在我們身邊，“數(shù)字型彩票”就是屬于有重復(fù)的排列。它的游戲規(guī)則大家肯定不會(huì)陌生，是從0－9這10個(gè)數(shù)字中任取6個(gè)數(shù)字組成一個(gè)六位數(shù)，然后從0－4這5個(gè)數(shù)字中任取1個(gè)數(shù)字作為特別號(hào)碼。只不過這個(gè)六位數(shù)和數(shù)學(xué)意義上的六位數(shù)有些不同，它允許0作為十萬(wàn)位上的數(shù)字。

由上述的定義2，不難算出“數(shù)字型彩票”共有每次開獎(jiǎng)共有特別號(hào)碼個(gè)數(shù)×10⁶ 種，即五百萬(wàn)個(gè)不同的開獎(jiǎng)號(hào)碼。

（三）排列數(shù)的計(jì)算公式

前面兩講中我們討論的是一些比較簡(jiǎn)單的排列問題，可以用窮舉的方法來解決。但對(duì)于一些相對(duì)較復(fù)雜的問題，就不能這樣做了，需要根據(jù)具體的計(jì)算公式來解答。

定義3：從n個(gè)不同元素中，任取m (m＜＝n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)P(m,n) 表示。

例如：從5個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)表示為P(3,5)。

求排列數(shù)P(m,n)可以這樣考慮：設(shè)有n個(gè)元素m₁，m₂，...，m_n從其中先任選1個(gè)元素排在第一個(gè)位置，因?yàn)?/span>m₁，m₂，...，m_n中任選1個(gè)都可以，所以有n種方法；

排在第二個(gè)位置的元素，是除了選作第一位的元素以外的n-1個(gè)元素中再任選一個(gè)，所以有n-1種方法；

這樣下去，選第三個(gè)，第四個(gè)......第m個(gè)位置的元素的方法，數(shù)目分別是n-2,n-3,...,n-(m-1)。

根據(jù)乘法原則，它們的總數(shù)是這m個(gè)排列方法的數(shù)目的積，即n(n-1)(n-2)*...*(n-m+1),所以P(m,n)=n(n-1)(n-2)*...*(n-m+1)。這里m<=n。

這就是說，從n個(gè)元素中每次取出m個(gè)元素，所有的排列總數(shù)等于m個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積，其中最大的一個(gè)數(shù)是n，這個(gè)公式叫做排列數(shù)公式。

當(dāng)m=n時(shí)，叫做n個(gè)不同元素的全排列。

（四）排列數(shù)計(jì)算公式的應(yīng)用

學(xué)習(xí)了排列數(shù)的計(jì)算后，我們基本可以解決所有只牽涉到排列的問題。看一下下面的這兩個(gè)例子。

例1：紅，黃，藍(lán)三種顏色不同的旗，按不同的次序排成一列表示信號(hào)，可以單用一面，或兩面，三面并用，問一共可以表示多少不同的信號(hào)？

解：一面組成的信號(hào)有P(1,3)種；

兩面組成的信號(hào)有P(2,3)種；

三面組成的信號(hào)有P(3,3)種。

根據(jù)加法原則，得：

P(1,3)+P(2,3)+P(3,3)=3+3*2+3*2*1=15 (種)

例2：有一分，兩分，五分的硬幣各若干枚。從中挑出1-3枚硬幣表示一種代號(hào)。可以只用一枚，也可用兩枚，也可用三枚，允許重復(fù)挑選。問一共有多少種不同的代號(hào)？

解：這個(gè)問題要根據(jù)元素重復(fù)的排列計(jì)算公式來解決。

一枚表示的代號(hào)有31種，

兩枚表示的代號(hào)有32種，

三枚表示的代號(hào)有33種。

根據(jù)加法原則，得：31+32+33=3+9+27=39（種）。

三、組合知識(shí)

（一）組合的性質(zhì)

讓我們先看一下下面的例子：

例：北京--天津--上海三個(gè)民航站的直達(dá)航線，一共有幾種不同的飛機(jī)票價(jià)？

解：因?yàn)楸本?/span>--上海，上海--南京，南京--北京三條航線的距離各不相同，所以有3種不同的飛機(jī)票價(jià)。

這個(gè)問題與需要準(zhǔn)備幾種不同的飛機(jī)票是不同的。飛機(jī)票的總數(shù)，與兩個(gè)城市的先后順序有關(guān)，這是一個(gè)排列問題；而票價(jià)只與兩個(gè)城市的距離有關(guān)，與兩個(gè)城市的先后順序無關(guān)，因此可以看作是從三個(gè)不同的元素中任選兩個(gè)，不管怎樣的順序并成一組，求一共有多少個(gè)不同的組，這就是我們要研究的組合問題。

定義：一般地說，從n個(gè)不同元素里，每次取出m (1<=m<=n)個(gè)元素, 不管怎樣的順序并成一組，叫做從n個(gè)元素里每次取出m個(gè)元素的組合。

例如：從3個(gè)元素a,b,c里每次取出2個(gè)元素的組合，就是指下列三種組合ab,ac,bc。

由組合的定義可以知道，如果兩種組合里所含的元素完全一樣，只是排列的順序不同，如ab和ba，那么它們?nèi)允窍嗤慕M合。

由此可知，組合和排列是不同的。排列和元素排列的順序有關(guān)，但是組合和這種順序沒有關(guān)系。

（二）組合數(shù)的計(jì)算公式

由于組合數(shù)的計(jì)算公式的推導(dǎo)過程比排列要麻煩，所以我們這里略去復(fù)雜的推導(dǎo)過程，直接給出組合數(shù)的計(jì)算公式。

定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m<=n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用C(m,n)表示。

C(m,n)=n*(n-1)*...*(n-m+1) / (1*2*...*m)

當(dāng)m=n時(shí)，C(m,n)=1。

讓我們來看下面這個(gè)例題：

例：有七個(gè)人進(jìn)行乒乓球比賽，采用單循環(huán)制，即每?jī)扇酥g要進(jìn)行一場(chǎng)比賽。問共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？

解：這個(gè)問題等同于從7個(gè)不同的元素中選取2個(gè)元素的所有組合個(gè)數(shù)。

所以比賽場(chǎng)數(shù)等于C(2,7)=7*...*(7-2+1)/(1*2)=7*6/2=21。

（三）組合的推廣

定義1:若r₁+r₂+......+r_k=n，把n個(gè)不同的元素分成k個(gè)部分，第一部分r₁個(gè)，第二部分r₂個(gè)，......，第k部分r_k個(gè)，則不同的分法有：n! / (r₁!*r₂!*......*r_k!) 種

這里n!叫做n的階層，它的值為n！= 1*2*......*n ；

定義2:若n個(gè)元素中有n₁個(gè)具有特性“1”， n₂個(gè)具有特性“2”，......，n_k個(gè)具有特性“k”，且n₁＋n₂＋......＋n_k＝ n，從這n個(gè)元素中取出r個(gè)，使得具有特性“i”的元素有r_i個(gè)(1<=i<=k)，而r₁＋r₂＋......＋r_k＝r ，這時(shí)不同的取法的總數(shù)為：

C(r₁，n₁)*C(r₂，n₂)*......*C(r_k，n_k) ，這里要求r_i <= n_i 。

例：有10個(gè)砝碼，其重量分別為1克，2克，......，10克，從中取出三個(gè)；要求取出的三個(gè)砝碼，一個(gè)小于5克，一個(gè)等于5克，一個(gè)大于5克。問共有多少種不同的取法？

解：由上述的定義2，我們認(rèn)為1克－4克的砝碼具有特性“1”，5克的砝碼具有特性“2”，6克－10克的砝碼具有特性“3”。從這10個(gè)砝碼中取出三個(gè)，具有特性“1”、特性“2” 、特性“3”的各取一個(gè)，則不同取法總數(shù)為：

C(1，4)*C(1，1)*......*C(1，5)＝4*1*5＝20 (種)。

概率

一、隨機(jī)事件的概率

在現(xiàn)實(shí)生活中，我們會(huì)遇到各種事件。有些事件在一定條件下是必然發(fā)生的。如將一枚硬幣向上拋，它必然會(huì)受到地球引力而下落;標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水煮到100攝氏度必然會(huì)沸騰。這種在一定條件下，在每次實(shí)驗(yàn)中必然會(huì)發(fā)生的事件，叫做必然事件。與此相反，在一定條件下，在每次實(shí)驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生的事件，叫做不可能事件。

此外，還有一些事件，如擲一枚硬幣，正面向上還是反面向上;射擊時(shí)，是中靶還是脫靶;某一天，有可能下雨，也有可能不下雨等事件在一定條件下是否發(fā)生，不能預(yù)先確定。這種在一定條件下，在每次實(shí)驗(yàn)中，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機(jī)事件。

事件一般用大寫字母A，B，C等來表示。

隨機(jī)事件在一次實(shí)驗(yàn)中是否發(fā)生雖然不能預(yù)先確定，但是在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的情況下，它的發(fā)生還是能呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性。

例如，對(duì)生產(chǎn)的一批乒乓球進(jìn)行質(zhì)量抽查，結(jié)果如下表所示:

抽取球數(shù) n 50 100 200 500 1000 2000

優(yōu)等品數(shù) m 45 92 194 470  954 1902

m/n 0.90 0.92 0.97 0.94 0.95 0.95

我們看到，當(dāng)抽查的球數(shù)很多時(shí)，每批抽到優(yōu)等品的個(gè)數(shù)m與抽取的球數(shù)n的比，接近于常數(shù)0.95。

在上例中，我們把抽到優(yōu)等品的次數(shù)看作事件A出現(xiàn)的次數(shù)。

一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率m/n總是接近于某個(gè)常數(shù)，m/n在它附近擺動(dòng)。這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A)。

概率從數(shù)量上反映了一個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小，雖然我們第一次接觸到這個(gè)概念，但在我們的周圍，經(jīng)常應(yīng)用概率知識(shí)，如天氣預(yù)報(bào)中的降水概率，上班的出勤率等。

由于任何重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)m總不可能大于實(shí)驗(yàn)次數(shù)n，所以事件A的概率P(A)都滿足：   0<=P(A)<=1。

很明顯，必然事件的概率是1；不可能事件的概率是0。

二、等可能事件的概率

隨機(jī)事件的概率，一般可以通過大量重復(fù)試驗(yàn)得出其近似值。但對(duì)于某些隨機(jī)事件，也可以不通過重復(fù)試驗(yàn)，而通過對(duì)一個(gè)試驗(yàn)中可能結(jié)果的分析來求出其概率。

例如，擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面叫做事件A，出現(xiàn)反面叫做事件B，出現(xiàn)事件A和B的可能性是相等的，可以認(rèn)為正面向上和反面向上的概率都是0.5，即

P（A）=P（B）=0.5

在一個(gè)試驗(yàn)中，如果所有的結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的，這些結(jié)果被認(rèn)為是等可能的。

例如，從四件同樣的物品中任意取出一件，取出的是甲，或乙，或丙，或者是丁，也可以認(rèn)為是等可能的，它們的概率都是0.25。這和我們做大量試驗(yàn)得出的結(jié)果是相符合的。

一般地，如果一次試驗(yàn)中共有n種等可能出現(xiàn)的結(jié)果。其中事件A包含的結(jié)果有m種，這在概率論中被稱為有利場(chǎng)合數(shù)。那么事件A的概率是有利場(chǎng)合數(shù)除以總的可能出現(xiàn)的次數(shù)： P（A）=m/n。

例1：在100個(gè)產(chǎn)品中，有90個(gè)一級(jí)品，10個(gè)二級(jí)品，從這100個(gè)產(chǎn)品中任意取出兩個(gè)，求：a,兩個(gè)都是一級(jí)品的概率；

b,兩個(gè)都是二級(jí)品的概率；

c,一個(gè)是一級(jí)品，一個(gè)是二級(jí)品的概率。

解：設(shè)兩個(gè)都是一級(jí)品的事件為A，兩個(gè)都是二級(jí)品的事件為B，一個(gè)是一級(jí)品一個(gè)是二級(jí)品的事件為C。

從100個(gè)產(chǎn)品中任意地取出兩個(gè)，共有C（2，100）種等可能的情況。

A：兩個(gè)都是一級(jí)品的種數(shù)C（2，90），所以取出兩個(gè)都是一級(jí)品的概率為P（A）=C（2，90）÷C（2，100）=89/110

B：兩個(gè)都是二級(jí)品的概率為P（B）=C（2，10）÷C（2，100）=1/110

C：一個(gè)是一級(jí)品一個(gè)是二級(jí)品的種數(shù)是C（1，90）*C（1，10），所以概率為P（C）=C（1，90）C（1，10）÷C（2，100）=2/11

例2，某彩票由六位號(hào)碼組成，每個(gè)位置上的號(hào)碼可以從0--9中任取，只有當(dāng)六位號(hào)碼全對(duì)時(shí)，才能中一等獎(jiǎng)。問中一等獎(jiǎng)的概率是多少？

解：由前面學(xué)過的知識(shí)，我們可以算出六位號(hào)碼組成的六位數(shù)字共有1000000種。而每次開獎(jiǎng)，開出的每一個(gè)六位數(shù)字都是等可能的，所以中一等獎(jiǎng)的概率為

P=1/1000000。

例3，某彩票為35選7型福利彩票，投注時(shí)從1到35中選7個(gè)號(hào)碼，7個(gè)號(hào)碼不重復(fù)，當(dāng)7個(gè)號(hào)碼全中時(shí)為頭獎(jiǎng)，問中頭獎(jiǎng)的概率是多少？

解：由前面講的知識(shí)，我們知道C（7，35）＝35！/28！/7！＝6724520，也就是說理論上每賣出6724520注才會(huì)有一注頭獎(jiǎng)。

由上面兩個(gè)例子可以看出，彩民是無法改變中獎(jiǎng)率的，除非你知道下一期會(huì)出什么號(hào)不會(huì)出什么號(hào)，把35選7變成34，33……選7，才能增大中獎(jiǎng)率。

三、概率的實(shí)際應(yīng)用

學(xué)到這里，細(xì)心的讀者可能會(huì)發(fā)覺這樣一個(gè)矛盾，在我們前面討論中都假定產(chǎn)品中的次級(jí)品數(shù)已知，然后根據(jù)它來計(jì)算種種概率。而在實(shí)際問題中，情況恰恰相反，次級(jí)品數(shù)是未知的，并且是我們希望通過抽樣檢驗(yàn)來確定的。

這個(gè)矛盾可通過下面的辦法來解決。

不難理解，抽出來的樣本的質(zhì)量情況在某種程度上反映了整批產(chǎn)品的質(zhì)量情況。例如，如果整批產(chǎn)品中次品很多，則抽查的樣本中含有次品的可能性就相當(dāng)大；反之，若產(chǎn)品中極少次品，則從中抽查一，兩個(gè)樣本而得到次品的可能性就很小。因而樣本中所含次品數(shù)的多少就為我們估計(jì)整批產(chǎn)品中的次品數(shù)提供了某種根據(jù)。例如為了確定某批產(chǎn)品中的次品率，通常采用的方法是從這批產(chǎn)品中抽若干個(gè)產(chǎn)品作為樣本來檢驗(yàn)，并用樣本的次品率來估計(jì)整批產(chǎn)品的次品率。

例：從某魚池中捕得1200條魚，做了紅色的記號(hào)之后再放回池中，經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r(shí)間后，再?gòu)某刂胁兜?/span>1000條魚，計(jì)算其中有紅色記號(hào)的魚的數(shù)目為100條，試估計(jì)魚池中共有多少條魚？

解：設(shè)池中共有n條魚，n未知，是我們要估計(jì)的。一般地，設(shè)第一次捕得的魚有n₁條，第二次捕得r條，而其中有記號(hào)的有k條。

第二次捕得k條有記號(hào)的魚的概率由第九講中的定義2可得：

P＝C(k ，n₁)×C（r-k，n- n₁）÷C(r，n) ，

而后我們需要經(jīng)過復(fù)雜的計(jì)算得到n的估計(jì)量，姑且省去，給出最終n的估計(jì)量：

n= n ₁× r ÷ k =1200×1000 ÷ 100 = 12000 (條)

旋轉(zhuǎn)矩陣

很多彩民在選號(hào)時(shí)常常有這樣一個(gè)沖動(dòng)，很多號(hào)看起來都很順眼，選來選去最終選出了一大堆號(hào)碼，也許是10個(gè)，也許是15個(gè)。號(hào)碼選擇得多了，中獎(jiǎng)的可能性肯定是大了，可要買這些號(hào)碼所有的組合，需要的錢幾乎是一個(gè)天文數(shù)字，于是你不得不搖了搖頭，嘆一口氣：還是不要選擇這么多號(hào)了，隨便選幾注算了吧！

或者，當(dāng)你對(duì)獎(jiǎng)時(shí)，你會(huì)沮喪地發(fā)現(xiàn)，你買的一組彩票選對(duì)了所有的號(hào)碼，但不幸的是這些號(hào)碼不在同一注上，這樣，你甚至連末等獎(jiǎng)也沒中，白白浪費(fèi)了一次絕好的機(jī)會(huì)。

如何避免以上這種情況呢？當(dāng)然最保險(xiǎn)的是復(fù)式投注，購(gòu)買你所選中的號(hào)碼的所有組合。可當(dāng)你選的數(shù)字增多時(shí)，成本就會(huì)大大增加，特別是號(hào)碼如果超過15個(gè)，一般的彩民是想都不敢想了。而使用旋轉(zhuǎn)矩陣就可以很方便地操作20個(gè)以上的號(hào)碼，而且還會(huì)提供相應(yīng)的中獎(jiǎng)保證。

事實(shí)就是這樣，在彩票游戲中，一次選對(duì)7個(gè)號(hào)碼的可能性非常小，可一次選擇出十幾、二十個(gè)數(shù)而包含這七個(gè)數(shù)字就容易多了，但如何組合這些號(hào)碼非常重要。如果組合號(hào)碼的方法不當(dāng)，你很有可能會(huì)浪費(fèi)巨額的資金，或者讓本來屬于你的大獎(jiǎng)從身邊溜走。本章的主要目標(biāo)就是讓彩民在投資中能夠根據(jù)自己的資金狀況，選擇適合自己的彩票組號(hào)方法，從而確保投資的合理性，而且保證最大程度的中獎(jiǎng)面。

這一章主要是實(shí)際應(yīng)用，所以不涉及數(shù)學(xué)理論。

下面以一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來說明彩票投資中組合號(hào)碼的重要性。比如你選了10個(gè)號(hào)碼，不妨設(shè)為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。你想把他們組合起來進(jìn)行投注，那么組合號(hào)碼的方法一般有以下幾種：

一、復(fù)式投注

最簡(jiǎn)單、最熟悉的方法無疑是復(fù)式投注，這種方法在各種媒體上以及福彩、體彩的宣傳單上都有著詳細(xì)的介紹。你只要購(gòu)買這10個(gè)號(hào)碼的復(fù)式就行了，所需的注數(shù)是120注，成本是240元。復(fù)式投注的目標(biāo)就是中大獎(jiǎng)，它將這10個(gè)號(hào)碼的所有組合一網(wǎng)打盡，也就是說，如果你選了這10個(gè)號(hào)碼中包含了開出的7個(gè)號(hào)，你可以穩(wěn)中大獎(jiǎng)。目前中國(guó)各省市的復(fù)式投注最多可以選擇的號(hào)碼一般為12個(gè)號(hào)或16個(gè)號(hào)。

下表是復(fù)式投注的號(hào)碼個(gè)數(shù)與投注金額表：

  表1—1：復(fù)式投注號(hào)碼與金額對(duì)照表  

從表中可以看出，復(fù)式投注的缺點(diǎn)也是顯而易見的，它的成本太高了，所以你能選擇的號(hào)碼個(gè)數(shù)很有限，如果達(dá)到15個(gè)號(hào)碼就要超過1萬(wàn)元。這么大的投入對(duì)一個(gè)普通的家庭來說負(fù)擔(dān)太重了。每次用復(fù)式投注顯然不是一個(gè)經(jīng)濟(jì)、理性的投資方法。如果你不想花那么大的成本的話，比如只想花50元以內(nèi)，那么你可以選用其他的組合號(hào)碼的辦法。

二、輪次矩陣

輪次矩陣就是把每個(gè)號(hào)碼都按順序依次輪一遍，據(jù)我的調(diào)查，許多彩民都曾使用過這種方法。與復(fù)式投注相比，輪次矩陣顯然在成本上具有優(yōu)勢(shì)。以如上的10個(gè)號(hào)碼為例，可以用輪次矩陣組成如下的10注。如表1—2

  表1—2：運(yùn)用輪次矩陣組合的10注號(hào)碼

這種組合號(hào)碼的方法成本很低，而且看過去很美觀，把每個(gè)號(hào)碼都排了7遍。但實(shí)際上，這種組合號(hào)碼的方法和胡亂組合一樣，是很不可取的。因?yàn)樗芸赡苈┑袅吮緛響?yīng)該得到的獎(jiǎng)項(xiàng)。也就是說，即使這10個(gè)號(hào)碼已經(jīng)包含了開出的7個(gè)基本號(hào)，用這種組合號(hào)碼的方法，很可能連三等獎(jiǎng)也拿不到。比如開出的7個(gè)基本號(hào)是01，02，04，05，07，08，09，那么盡管這7個(gè)號(hào)碼在上面的10個(gè)號(hào)碼之內(nèi)。上述方法組合出來的10注中，最多只中了四等獎(jiǎng)（對(duì)了5個(gè)號(hào)），沒有一注中三等以上獎(jiǎng)。

三、旋轉(zhuǎn)矩陣

世界著名彩票專家、澳大利亞的數(shù)學(xué)家底特羅夫研究出了一種組合號(hào)碼的方法——我們稱之為旋轉(zhuǎn)矩陣。用此方法進(jìn)行投注的話，輪次矩陣中出現(xiàn)的情況是永遠(yuǎn)不會(huì)出現(xiàn)的。旋轉(zhuǎn)矩陣的意義在于，如果你所選擇的多個(gè)號(hào)碼中包括了開獎(jiǎng)的號(hào)碼，那么你只要用很少的投入，而能夠得到一個(gè)相應(yīng)級(jí)別的中獎(jiǎng)保證。具體你的投入的多少與你選擇號(hào)碼的個(gè)數(shù)、包含中獎(jiǎng)號(hào)碼的個(gè)數(shù)以及你所期望的中獎(jiǎng)保證相關(guān)。例如10個(gè)號(hào)碼的（7，六）型旋轉(zhuǎn)矩陣，就是你選擇了10個(gè)號(hào)碼，如果包含了7個(gè)中獎(jiǎng)號(hào)碼，那么你至少會(huì)中一注對(duì)6個(gè)以上的獎(jiǎng)，這樣的旋轉(zhuǎn)矩陣，你只需要買8注，你的投入為16元。而相應(yīng)的復(fù)式投注需要的成本為240元。如下表，假定你選擇的號(hào)碼為1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。

表1—3：10個(gè)號(hào)碼，（7，六）型旋轉(zhuǎn)矩陣

 每行為一注，共8注。共需投入的資金為16元。如此少的投資，如此高的獲獎(jiǎng)保證，這才是一種理性的投資。

表1－4 三種投注方法比較表

前面我提到了一些概念，大家可能還沒有完全明白，例如10個(gè)號(hào)碼的（7，六）型矩陣究竟是什么意思呢？下面我來具體說一說。

（一）、你所選擇號(hào)碼的個(gè)數(shù)

10個(gè)號(hào)碼（7，六）型矩陣，其中10就是你所選擇的號(hào)碼。這是旋轉(zhuǎn)矩陣最重要的參數(shù)之一，是決定旋轉(zhuǎn)矩陣大小的一個(gè)重要因素。一般說來，這個(gè)參數(shù)的范圍在9—25之間。中國(guó)彩票的玩法各省市差別很大，難度較小的如山東體育彩票是29選7，難度較大的如廣西風(fēng)采采用的是37選7的玩法，因此需要選擇的范圍差別較大。

（二）、你選擇號(hào)碼的個(gè)數(shù)中包含中獎(jiǎng)號(hào)碼的個(gè)數(shù)

10個(gè)號(hào)碼的（7，六）型矩陣中的“7”就是你選擇的10號(hào)碼中包含了7個(gè)中獎(jiǎng)號(hào)碼，那么你就至少可以對(duì)6個(gè)號(hào)碼的獎(jiǎng)。很明顯，如果選擇的號(hào)碼越多，則包含7個(gè)中獎(jiǎng)號(hào)碼的幾率越大。當(dāng)然，也有可能你選擇的號(hào)碼中包含了6個(gè)中獎(jiǎng)號(hào)碼，或5個(gè)號(hào)碼。對(duì)應(yīng)的有（6，六）型、（6，五）型、（6，四）、（5，五）型等矩陣。

（三）、你所期望的最低中獎(jiǎng)保證

10個(gè)號(hào)碼的（7，六）型矩陣中的“六”就是你所期望的中獎(jiǎng)號(hào)碼個(gè)數(shù)。你所期望的中獎(jiǎng)號(hào)碼個(gè)數(shù)的不同，你所付出的代價(jià)也會(huì)不一樣。比如15個(gè)號(hào)碼的（7，六）型需要236注，而15個(gè)號(hào)碼的（7，五）型只需要25注。彩民朋友在進(jìn)行彩票投資時(shí)，一定要根據(jù)自己的資金實(shí)力來確定適合自己的投注方法。

特別強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)，有人問（7，七）的矩陣有沒有，如果是選7型的樂透彩票，那么（7，七）實(shí)際上就是復(fù)式投注，也就是將你所選的號(hào)碼全部組合，這不屬于旋轉(zhuǎn)矩陣研究范疇。

需要說明的是，雖然提供了最低中獎(jiǎng)保證，但最終你所中得的獎(jiǎng)項(xiàng)并不是唯一的，比如保證中6個(gè)號(hào)碼會(huì)有兩種可能，一種是中6個(gè)基本號(hào)，另一種是中6個(gè)基本號(hào)和1個(gè)特別號(hào)，其對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)項(xiàng)為三等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)，這要看你選對(duì)的號(hào)碼中是否包含有特別號(hào)，以及你的運(yùn)氣如何。另一方面，你究竟能中得幾注對(duì)6個(gè)號(hào)碼的獎(jiǎng)項(xiàng)也不是唯一的，這與你組合號(hào)碼的順序有關(guān)系，也就是說，你的號(hào)碼在組合中出現(xiàn)的次數(shù)影響你最后的中獎(jiǎng)情況。

附錄

這里列出10個(gè)號(hào)碼的(8，七)型矩陣。

出8保7的矩陣對(duì)很多彩民有很大的吸引力。出8保7意味著在挑對(duì)包括特別號(hào)在內(nèi)的8個(gè)號(hào)碼的前提下，可以保證最少中得7個(gè)號(hào)碼的獎(jiǎng)，即最少可以中得6+1。在中國(guó)的選7型彩票中，選中6+1的獎(jiǎng)金與選中6的結(jié)果是有天壤之別的。

表一：10個(gè)號(hào)碼的(8，七)型矩陣（17注）

利用該矩陣的目的很明確，是沖著大獎(jiǎng)去的，至少也應(yīng)該中得6＋1。但要求也很苛刻，需要同時(shí)選中8個(gè)號(hào)碼（即選中7個(gè)基本號(hào)和1個(gè)特別號(hào)），從概率上看，能選中8個(gè)號(hào)碼的可能是很低的，但也許這就是彩票的魅力所在――人們往往只注意到彩票的高獎(jiǎng)金額而忽視了其高風(fēng)險(xiǎn)性。利用此矩陣，最少可以中得1注對(duì)7個(gè)號(hào)碼的獎(jiǎng)（有可能中得大獎(jiǎng)，也有可能中得6個(gè)基本號(hào)和1個(gè)特別號(hào)的獎(jiǎng)），其可能性為73.3%，同時(shí)還可以中得8注以上對(duì)6個(gè)號(hào)碼的獎(jiǎng)。如果運(yùn)氣好一點(diǎn)的話，可以中得2注對(duì)7個(gè)號(hào)碼的獎(jiǎng)，同時(shí)中6個(gè)號(hào)碼的獎(jiǎng)可達(dá)6－7注，其可能性13.3%。具體見下表：

表三：選中7個(gè)基本號(hào)碼和1個(gè)特別號(hào)碼

如果只選中7個(gè)號(hào)碼，其最低保證為中得3注對(duì)6個(gè)號(hào)碼的獎(jiǎng)，同時(shí)，對(duì)5個(gè)號(hào)碼的獎(jiǎng)有9－10注，在這種情況下，中得7個(gè)號(hào)碼的獎(jiǎng)的可能性為14.2%。表四：選中7個(gè)號(hào)碼

如果在10個(gè)號(hào)碼中，只選對(duì)了6個(gè)號(hào)碼，那么有53.8%的可能性保證中6個(gè)號(hào)碼的獎(jiǎng)。其最小的保證為中得6注對(duì)5個(gè)號(hào)碼的獎(jiǎng)和8－9注對(duì)4個(gè)號(hào)碼的獎(jiǎng)，應(yīng)該說，選中6個(gè)號(hào)碼的效果還比較令個(gè)滿意的。