一、應當把握數學思想

從事數學教學工作的教師應當把握數學思想，有兩個理由。首先，在現實的大學教育中，普遍開設了數學文化的課程，這是非常重要的，而數學思想是數學文化的核心。梁漱溟在《東西文化及其哲學》的書中區別了文化和文明：文化是那個時代人們生活的樣子，文明是那個時代人們創造的東西。據此或許可以說，文化是生活的形態表現，文明是生活的物質表現。那么，數學文化就是數學的形態表現，可以包括：數學形式、數學歷史、數學思想。其中思想是本質的，沒有思想就沒有文化。

其次，是為了培養創新性人才。在修改《義務教育階段數學課程標準》的過程中，把傳統的“雙基”擴充為“四基”，即在基礎知識和基本技能的基礎上加上了基本思想和基本活動經驗。基本活動經驗的重要性是不言而喻的，因為數學的結果是“看”出來的，而不是“證”出來的，這就依賴于直觀判斷。正如希爾伯特在《幾何基礎》第一版的扉頁引用康德的話：人類的一切知識都是從直觀開始，從那里進到概念，而以理念結束。幾乎所有的大數學家都強調直觀的重要性，數學直觀的養成不僅依賴數學知識，更依賴思考問題的方法，依賴思維經驗的積累。那么，數學思想是什么呢？

二、數學思想是什么

人們通常所說的等量替換、圖形結合、遞歸法等，只是數學思想方法而不是數學思想。基本數學思想不應當是個案的，而必須是一般的。這大概需要滿足兩個條件：一是數學產生以及數學發展過程中所必須依賴的那些思想。二是學習過數學的人所具有的思維特征。這些特征表現在日常的生活之中。這就可以歸納為三種基本思想，即抽象、推理和模型。通過抽象，人們把外部世界與數學有關的東西抽象到數學內部，形成數學研究的對象，其思維特征是抽象能力強；通過推理，人們得到數學的命題和計算方法，促進數學內部的發展，其思維特征是邏輯能力強；通過模型，人們創造出具有表現力的數學語言，構建了數學與外部世界的橋梁，其思維特征是應用能力強。

三、什么是抽象

對于數學，抽象主要包括兩方面的內容：數量與數量關系的抽象，圖形與圖形關系的抽象。其中關系是重要的，正如亞里士多德所說：數學家用抽象的方法對事物進行研究，去掉感性的東西剩下的只有數量和關系；對于數學研究而言，線、角或者其他的量，不是作為存在而是作為關系。

通過抽象得到數學的基本概念，這些基本概念包括：數學研究對象的定義、刻畫對象之間關系的術語和符號以及刻畫對象之間關系的運算方法。這種抽象是一種從感性具體上升到理性具體的思維過程，這樣的抽象還只是第一次抽象。在此基礎上，還能憑借想象和類比進行第二次抽象，其特點是符號化，得到那些并非直接來源于現實的數學概念和運算方法，比如實數和高維空間的概念，比如極限和四元數的運算。第二次抽象是此理性具體擴充到彼理性具體的思維過程，在這個意義上，數學并非僅僅研究那些直接來源于現實生活的東西。

數量與數量關系的抽象。數學把數量抽象為數，經過長期的實踐，形成了自然數，并且用十個符號和位數表示。數量關系的本質是多與少，把這種關系抽象到數學內部就是數的大小，后來演變為一般的序關系。由大小關系派生出自然數的加法，逆運算產生了減法、簡便運算產生了乘法、乘法逆運算產生了除法。數的運算本質是四則運算，都是基于加法的，這也是計算機的運算原理。通過對運算性質的分析，抽象出運算法則；通過對運算結果的分析，抽象出數的集合。

數學還有一種運算，就是極限運算，這涉及數學的第二次抽象，起因于牛頓、萊布尼茨于 1684 年左右創立的微積分。微積分的運算基礎是極限，為了合理解釋極限，特別是合理解釋一個變量趨于一個給定常量，1821年柯西給出了 ε–δ 語言的描述。這也開始了現代數學的特征：研究對象的符號化、證明過程的形式化、邏輯推理的公理化。數學的第二次抽象就為這些特征服務的。

為了很好地描述極限過程，需要解決實數的連續性問題；為了很好地定義實數，需要重新定義有理數。這樣，小數形式的有理數就出現了，這已經完全背離分數形式有理數的初衷：部分與整體的關系，線段的比例關系。1872 年，從小數形式的有理數出發，康托爾用基本序列的方法定義實數，解決了實數的運算問題；戴德金用分割的方法定義實數，解決了實數的連續性問題。在此基礎上，1889 年佩亞諾給出算術公理體系，1908 年策梅洛給出集合論公理體系，建立了現代數學的基礎。

圖形與圖形關系的抽象。歐幾里得最初抽象出點、線、面這些幾何學的研究對象是有物理屬性的，比如，點是沒有部分的那種東西。凡是具體的就必然會出現悖論，比如，如何解釋兩條直線相交必然交于一點？兩條直線怎么能交到沒有部分的那種東西上？隨著幾何學研究的深入，特別是非歐幾何學的出現，人們需要重新審視傳統的歐幾里得幾何學。

1898 年，希爾伯特重新定義了點、線、面：用大寫字母 A 表示點，用小寫字母 a 表示線，用希臘字母 α 表示面，這完全是符號化的定義，然后給出了五組公理，實現了幾何研究的公理體系。這些公理體系的建立，完成了數學的第二次抽象。至少在形式上，數學的研究已經脫離了現實，正如希爾伯特所說：無論稱它們為點、線、面，還是稱它們為桌子、椅子、啤酒瓶，最終得到的結論都是一樣的。

四、什么是推理

人們通常認為思維形式有三種，即形象思維、邏輯思維和辯證思維，數學主要依賴的是邏輯思維。邏輯思維的集中表現是邏輯推理，人們通過推理，能夠深刻地理解數學研究對象之間的邏輯關系，并且可以用抽象了的術語和符號清晰地描述這種關系。因此，人們通過推理形成各種命題、定理和運算法則，促進了數學的發展。隨著數學研究的不斷深入，根據研究問題的不同數學逐漸形成各個分支，甚至形成各種流派。既便如此，因為數學研究問題的出發點是一致的，邏輯推理規則也是一致的，因此，至少到現在的研究結果表明，數學的整體一致性是不可動搖的。也就是說，數學的各個分支所研究的問題似乎是風馬牛不相及的，但是，數學各個分支得到的結果之間卻是相互協調的。為此，人們不能不為數學的這種整體一致性感到驚嘆：數學似乎蘊含著類似真理那樣的合理性。

所謂推理，是指從一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程，其中命題是指可供是否判斷的語句；所謂有邏輯的推理，是指所涉及的命題內涵之間具有某種傳遞性。在本質上，只存在兩種形式的邏輯推理，一種是歸納推理，一種是演繹推理。

歸納推理。歸納推理是命題內涵由小到大的推理，是一種從特殊到一般的推理。因此，通過歸納推理得到的結論是或然的。歸納推理包括歸納法、類比法、簡單枚舉法、數據分析等等。人們借助歸納推理，從經驗過的東西出發推斷未曾經驗過的東西，這便是上面所說的“看”出數學結果，看出的數學結果不一定是正確的，但指引了數學研究的方向。

演繹推理。演繹推理是命題內涵由大到小的推理，是一種從一般到特殊的推理。因此，通過演繹推理得到的結論是必然的。演繹推理包括三段論、反證法、數學歸納法、算法邏輯等。人們借助演繹推理，按照假設前提和規定的法則驗證那些通過推斷得到的結論，這便是數學的“證明”，通過證明得到的結論是正確的，但不能使命題的內涵得到擴張。

數學的結論之所以具有類似真理那樣的合理性，或者說數學具有嚴謹性，正是因為數學的整個推理過程嚴格地遵循了這兩種形式的推理。

我們不可能把抽象和推理截然分開：抽象的過程、特別是第二次抽象的過程要依賴推理；而兩種形式的推理、特別是歸納推理的過程要依賴抽象。

五、抽象的存在

關于抽象了的東西是如何存在的，這是從古至今爭論的話題，這個爭論是從古希臘學者柏拉圖和亞里士多德開始。或許正是因為有了這個爭論才導致了數學的嚴謹性，因此，只有很好地理解這個問題，才能更好地把握數學的思想。

柏拉圖認為人的經驗是不可靠的，經驗可能隨著時間的改變而改變，也可能隨著場合的改變而改變。因此，所有基于經驗的概念都是不可靠的，也是不可能的。數學的概念不應當是經驗意義上的存在，而應當是一種永恒的存在。柏拉圖把這種永恒的存在稱為理念，并且認為只有理念才是真正的存在。因此，數學是一種“發現”，即發現了那些“實際”存在了的東西。這便是“唯實論”。

亞里士多德的想法正好相反。一般概念是對許多具體存在的事物的共性抽象得到的，所以一般概念不可能是真正的存在，一般概念表現于特殊事物，每個具體存在都是一般概念的特例。因此，數學的研究對象、以及表述研究對象之間關系術語都是抽象出來的，在這個意義上，數學只能是一種“發明”。這便是“唯名論”。

事實上，抽象了的東西不是具體的存在，而是一種理念的存在，或者說，是一種抽象的存在。這便是《周易·系辭》中“形而上者謂之道，形而下者謂之器”所說的“形”。比如，看到足球、乒乓球，在頭腦中形成圓的概念，這個概念就是一種抽象的存在，這種存在已經脫離了具體的足球和乒乓球。借助這種抽象的概念，可以在黑板上畫出圓，甚至還可以定義圓，可以研究圓的性質。這種抽象的存在構成了數學研究的基礎，數學研究的是普遍存在的東西，而不是某個具體存在的東西。正是由于這種普遍性，數學才可以得到廣泛的應用。數學就是研究那些抽象了的存在的東西。

但是，通過上面的討論可以看到，即便數學的第二次抽象在形式上是美妙的，但其功能至多是很好地解釋了第一次抽象得到的那些結果，因此，在本質上無重大發明可言。而數學的第一次抽象是來源于經驗的，抽象的對象是現實世界，而只有直接從現實世界中抽象出來的那些問題，才是朝氣蓬勃的，才可能具有不斷發展的生命力。正如馮·諾伊曼所說：數學思想來源于經驗，我想這一點是比較接近真理的…… 數學思想一旦被構思出來，這門學科就開始經歷它本身所特有的生命。事實上，認為數學是一門創造性的、受審美因素支配的學科，比認為數學是一門別的、特別是經驗的學科要更確切一些。換句話說，在距離經驗本源很遠的地方，或者在多次“抽象的”近親繁殖之后，一門數學學科就有退化的危險。

那么，數學的那些概念、原理和思維方法應當如何與現實世界聯系呢？合理的思維過程具有理性加工的功能，而現實世界的那些東西一旦經過理性加工，不僅具有了一般性并且具有了真實性。

六、什么是模型

數學模型與通常所說的數學應用是有所區別的。數學應用涉及的范圍相當寬泛，可以泛指應用數學解決實際問題的所有事情。雖然數學模型也屬于數學應用的范疇，但更側重于用數學的概念、原理和思維方法描述現實世界中的那些規律性的東西。

數學模型是指用數學的語言描述現實世界所依賴的思想。數學模型使數學走出數學的世界，是構建數學與現實世界的橋梁。通俗地說，數學模型是借用數學的語言講述現實世界的故事。

數學模型的出發點不僅是數學，還包括現實世界中的那些將要講述的東西。就像建筑橋梁一樣，在建筑之前必須清楚要把橋梁建筑在哪里。并且，研究手法也不是單向的，需要從數學和現實這兩個出發點開始，規劃研究路徑、構建描述用語、驗證研究結果、解釋結果含義，從而得到與現實世界相容的、可以描述現實世界的結論。

在現實世界中，放之四海而皆準的東西是不存在的，數學模型必然有其適用范圍，這個適用范圍通常表現于模型的假設前提、模型的初始值、模型參數的某些限制。在這個意義上，所有的數學表達，比如函數、方程、公式等，本身都不是數學模型，而是描述現實世界的數學語言。

因為數學模型具有數學和現實這兩個出發點，數學模型就不完全屬于數學。大多數應用性很強的數學模型的命名，都依賴于所描述的學科背景。比如，在生物中：種群增長模型，基因復制模型等；在醫藥學中：專家診斷模型，疾病靶向模型等；在氣象學中：大氣環流模型，中長期預報模型等；在地質學中：板塊構造模型，地下水模型等；在經濟學中：股票衍生模型，組合投資模型等；在管理學中：投入產出模型，人力資源模型等；在社會學中：人口發展模型，信息傳播模型等。在物理學和化學中，各類數學模型更是百花齊放。

數學模型的價值取向往往不是數學本身，而是對描述學科所起的作用。比如，那些獲得諾貝爾經濟學獎的數學模型，人們關注的并不是模型的數學價值，而是實際應用價值。但是，數學家們在構建數學模型和實際應用的過程中，必然會從數學的角度汲取“創造數學”的靈感，促進數學自身的發展，就像馮·諾伊曼所說過的那樣。

數學的基本思想，即抽象、推理、模型，為數學由現實到數學、數學內部發展、由數學到現實提供了思維功能，理性地把握這些功能對數學的教學是有益處的。雖然現代數學的特征是符號化、形式化和公理化，但其本質是為了更好地描述數學的成果。正如阿蒂亞所說：嚴格數學論證的作用在于使得本來是主觀的、極度依賴個人直覺的事物，變得具有客觀性并能夠加以傳遞。因此，為了更好地讓學生理解數學，為了讓學生建立數學的直觀，在數學的教學過程中還需要反其道而行之：針對對象的符號化要講物理背景，針對證明的形式化要講直觀，針對邏輯的公理化要講歸納。