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相對誤差

 陽光大使萬歲 2014-01-11

什么是相對誤差

  相對誤差則是絕對誤差與真值的比值,因此它是一個百分數。一般來說,相對誤差更能反映測量的可信程度。相對誤差等于測量值減去真值的差的絕對值除以真值,再乘以百分之一百。

  例如,測量者用同一把尺子測量長度為1厘米和10厘米的物體,它們的測量值的絕對誤差顯然是相同的,但是相對誤差前者比后者大了一個數量級,表明后者測量值更為可信。

相對誤差的類別[1]

  絕對誤差是既指明誤差的大小,又指明其正負方向,以同一單位量綱反映測量結果偏離真值大小的值,它確切地表示了偏離真值的實際大小。

  相對誤差是指“測量的絕對誤差與被測量的真值之比”,即該誤差相當于測量的絕對誤差占真值(或給出值)的百分比或用數量級表示,它是一個無量綱的值。有的計量器具從實際使用的需要出發,為了確定其準確度允許誤差,往往用引用誤差和分貝誤差來表示。

  引用誤差是指絕對誤差與特定值(測量范圍上限值或量程)之比,值以百分數表示,它是相對誤差的另一種表達形式。

  分貝誤差是無線電、聲學等計量器具中經常用來表示相對誤差的一種表達形式。將上述歸納起來就是相對誤差的類別:

  ①實際相對誤差;

  ②給出值相對誤差;

  ③引用誤差;

  ④分貝誤差。

相對誤差的計算

  相對誤差指絕對誤差與真值的比值,一般用百分數表示,即
\epsilon=\frac{|\triangle x_1|}{x_0}\times 100%=\frac{|x_1-x_0|}{x_0}\times 100%

  相對誤差的計算比絕對誤差計算要復雜得多。如果將相對誤差的計算分為三步,即先計算數據組的算術平均值,再計算極差,最后計算相對誤差,問題就簡單了。[2]

  例如丈量了兩段距離,其結果分別為D1=51.852m,D2=108.836m,它們的中誤差為m_{D_1}=m_{D_2}=±10mm。雖然兩者的中誤差相同,但兩者的丈量精度是不同的。經計算:
K_1=|\frac{m_{D_1}}{D_1}|=1/5200
     
K_2=|\frac{m_{D_2}}{D_2}|=1/10800

  很顯然,第二段距離的測量精度要高。特別說明一下,計算結果K1=1/5185,但不能寫成K1=1/5200,因為實測精度低于1/5200。測量規范中也規定有相對誤差的限值,這些限值稱為容許相對誤差。[3]

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