●計名釋義

比起“芝麻”來，“西瓜”則不是一個“點”，而一個球. 因為它能夠“滾”，所以靠“滾到成功”. 球能不斷地變換碰撞面，在滾動中能選出有效的“觸面”.

數學命題是二維的. 一是知識內容，二是思想方法. 基本的數學思想并不多，只有五種：①函數方程思想，②數形結合思想，③劃分討論思想，④等價交換思想，⑤特殊一般思想. 數學破題，不妨將這五種思想“滾動”一遍，總有一種思想方法能與題目對上號.

●典例示范

［題1］ （2006年贛卷第5題）

對于R上可導的任意函數f（x），若滿足（x－1）f ￠（x）30，則必有

A.  f（0）＋f（2）< 2f（1）           B.  f（0）＋f（2）≤2 f（1）

C.  f（0）＋f（2）≥ 2f（1）           D.  f（0）＋f（2）>2f（1）

［分析］　用五種數學思想進行“滾動”，最容易找到感覺應是③：分類討論思想.　這點在已條件（x-1）f＇(x)≥0中暗示得極為顯目.

其一，對f＇(x)有大于、等于和小于0三種情況；

其二，對x-1，也有大于、等于、小于0三種情況.

因此，本題破門，首先想到的是劃分討論.

［解一］ （i）若f＇(x) ≡ 0時，則f(x)為常數：此時選項B、C符合條件.

（ii）若f＇(x)不恒為0時. 則f＇(x)≥0時有x≥1，f（x）在上為增函數；f＇(x)≤0時x ≤1. 即f（x）在上為減函數. 此時，選項C、D符合條件.

綜合（i），（ii），本題的正確答案為C.

［插語］ 考場上多見的錯誤是選D. 忽略了f＇(x) ≡ 0的可能. 以為（x-1）f＇(x) ≥0中等號成立的條件只是x-1=0，其實x-1=0與f＇(x)=0的意義是不同的：前者只涉x的一個值，即x=1，而后是對x的所有可取值，有f＇(x) ≡ 0.

［再析］ 本題f（x）是種抽象函數，或者說是滿足本題條件的一類函數的集合. 而選擇支中，又是一些具體的函數值f（0），f（1），f（2）.　因此容易使人聯想到數學⑤：一般特殊思想.

［解二］ （i）若f＇(x)=0，可設f（x）=１.　選項Ｂ、Ｃ符合條件.

（ii）f＇(x)≠0. 可設f(x) =（x-1）2      又　f＇(x)=2（x-1）.

滿足　(x-1) f＇(x) =2 (x-1)2≥0，而對  f (x)= (x-1)2. 有f（0）= f（2）=1，f（1）=0

選項C，D符合條件. 綜合（i），（ii）答案為C.

［插語］ 在這類f (x)的函數中，我們找到了簡單的特殊函數(x-1)2. 如果在同類中找到了(x-1)4 ，(x-1) ，自然要麻煩些. 由此看到，特殊化就是簡單化.

［再析］ 本題以函數（及導數）為載體. 數學思想①——“函數方程（不等式）思想”. 貫穿始終，如由f ￠（x）= 0找最值點x =0，由f ￠（x）>0（<0）找單調區間，最后的問題是函數比大小的問題.

由于函數與圖象相聯，因此數形結合思想也容易想到.

［解三］ （i）若f (0)= f (1)= f (2)，即選B，C，則常數f (x) = 1符合條件. （右圖水平直線）

（ii）若f (0)= f (2)< f (1)對應選項A.（右圖上拱曲線），但不滿足條件(x-1) f ￠（x）≥0

若f (0)= f (2)> f (1)對應選項C，D（右圖下拱曲線）. 則滿足條件(x-1) f ￠（x）≥0.

［探索］ 本題涉及的抽象函數f (x)，沒有給出解析式，只給出了它的一個性質：(x-1) f ￠（x）≥0，并由此可以判定f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然，有這種性質的具體函

數是很多的，我們希望再找到一些這樣的函數.

［變題］ 以下函數f (x)，具有性質(x-1) f ￠（x）≥0從而有f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函數是

A. f（x）= (x-1)3  B. f（x）= (x-1)   C. f（x）= (x-1)  D. f（x）= (x-1)

［解析］ 對A，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；對B，f (0)無意義；

         對C，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；

答案只能是D. 對D， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.

且f ￠（x）=(x-1)    使得  (x-1) f＇(x) =(x-1)(x-1) ≥0.

［說明］ 以x=1為對稱軸、開口向上的函數都屬這類抽象函數. 如f￠（x）=(x-1) ，其中m，n都是正整數，且n≥m.

［點評］ 解決抽象函數的辦法，切忌“一般解決”，只須按給定的具體性質“就事論事”，抽象函數具體化，這是“一般特殊思想”在解題中具體應用.

［題2］ 已知實數x，y滿足等式  ，試求分式的最值。

［分析］ “最值”涉及函數，“等式”連接方程，函數方程思想最易想到.

［解一］ （函數方程思想運用）

令 y = k (x-5) 與方程聯立

消y，得：

根據x的范圍應用根的分布得不等式組：

解得     即 ≤≤  即所求的最小值為，最大值為.

［插語］ 解出≤≤，談何易！十人九錯，早就應該“滾開”，用別的思想方法試試.

［解二］ （數形結合思想運用）

由得橢圓方程 ，

看成是過橢圓上的點（x，y），(5，0)的直

線斜率（圖右）.

聯立       得 

令得，故 的最小值為，最大值為.

［插語］ 這就是“滾動”的好處，解二比解一容易多了. 因此，滾動開門，不僅要善于“滾到”，還要善于“滾開”.

［點評］ “西瓜開門”把運動學帶進了考場解題. 滾動能克服解題的思維定勢.

解題時，要打破思維固化，在思想方法上要“滾動”，在知識鏈接上要“滾動”，在基本技能技巧上也要“滾動”. 總之，面對考題，在看法、想法和辦法上要注意“滾動”.

●對應訓練

1.若動點P的坐標為(x,y)，且lgy，lg|x|，lg成等差數列，則動點P的軌跡應為圖中的                  (  )

2.函數y=1- (-1≤x<0)的反函數是 (  )

A.y=-(0<x≤1)           B.y= (0<x≤1)

C. y=- (-1≤x<0)         D. y= (-1≤x<0)

3.設a,b,c∈R,且4a-4b+c>0,a+2b+c<0,則下列結論中正確的是      (  )

A.b2≤ac            B.b2>ac        C.b2>ac且a>0      D.b2>ac且a<0



●參考答案

1.【思考】  利用題設的隱含條件.由條件知x≠0,y>0且y>x.選項B中無x<0的圖像，選項D中無x>0的圖像，均應否定；當x=y∈R+時，lg無意義，否定A,選C．

【點評】  上面的解法中條件與選項一并使用，滾滾碰碰中終于找到了正確的選項.本題的常規解法是：當x≠0且y>x時，由lgy+lg=2lg|x|，化簡可得(x+y)(2x-y)=0.∴y=-x或y=2x(x≠0,y>0).

2.【思考】  分析各選項，僅解析式符號有區別.定義域中等號的位置有區別，所以擬從這兩方面滾動著手排除錯誤的選項.

原函數定義域為-1≤x<0，∴其反函數值域為-1≤y<0，排除B、D.

∵原函數中f(-1)=1,∴反函數中f-1(1)=-1,即x=1時f-1(x)有定義,排除C,∴選A．

3.解析一   分析四個選擇支之間的邏輯關系知,若C真,則B也真;若D真,則B也真,故C、D皆假.

取符合條件4a-4b+c>0,a+2b+c<0的實數a=0,b=-1,c=0檢驗知選B.

解析二  由選擇支,聯想到二次函數的判別式.

令f(x)=ax2+2bx+c,則f(-2)=4a-4b+c>0,

f(1)=a+2b+c<0,故Δ=4b2-4ac>0,即b2>ac,故選B.

【點評】   在解題時易受題設條件的干擾,企圖從已知不等式出發:

4b<4a+c,          ①

2b<-a-c,           ②

①×②不等號的方向無法確定,思維受阻.

用邏輯分析法和特殊值檢驗的方法兩種方法滾動使用，簡便明快,如解析一.用判別式法邏輯性強但思路難尋,如解析二.一般在做題時,為了使選擇題解題速度變快,推薦學生使用解析一.