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從初中開始，我們就開始接觸三角函數了。初中的時候，三角函數是在直角三角形中定義的。直角三角形中一個銳角的對邊比上斜邊就是這個角的正弦值，而余弦值被定義為這個角的鄰邊與斜邊的比值。

初中的定義，使得我們對三角函數的研究停留在銳角的范圍內。到了高中，我們利用單位圓和有向線段把三角函數的定義域擴大到了可以取到任意實數。于是，三角函數成了實數R到實數R的函數。

然而，如果你真較真兒的看看以上中學階段的兩種定義的話，你會發現以上兩種定義方式都離不開“畫圖”，而看圖說話的方式依賴人的感覺——視覺，這不是一種數學意義上的嚴謹方式。再深入一點，單位圓和有向線段定義三角函數的方式，需要把角的大小對應成為實數，而對應實數的方式，要么用到某個扇形的面積，要么會用到圓上某段弧的弧長。然而，你在圓上截取的這部分扇形的面積，或者那段弧的弧長分別存在的理由是什么呢？奧，你會說我畫出來了，看吧，它就是占了一塊地方，或者就是一截長度——我相信是對的，但是這樣的理由依然是感覺的，而非數學邏輯的。

如果，按數學嚴謹的邏輯應該怎么做呢。我們可以完全依照公理與邏輯從自然數理論（可以用ZFC或者皮亞諾公理導出自然數的相關理論），發展出有理數理論，再而發展處實數理論。理由實數的完備性的公理，發展處極限理論、微積分理論，再而級數和微分方程理論。這些基礎，都可以只依賴于公理體系和形式邏輯，而不依賴與感覺。于是本文就用這些理論來定義三角函數，已經推倒三角函數的性質。——本文將用無窮級數定義三角函數。利用無窮級數或微分方程也是到目前為止，嚴謹的定義三角函數的最佳方案。

定義三角函數的核心也就是定義正弦和余弦函數，下面我們會圍繞這個來展開討論。

我們用級數來定義下面兩個函數：

我們后面證明的公式，很多可以利用級數之間的四則運算直接得出(比如2sinx cosx = sin(2x)之類)，但是我們哆嗒君并不打算這樣做，下面所有的關鍵推導，我們都盡量避開一些艱深的級數間運算的技巧，雖然那很直接（比如證明存在使得sinx小于0的x的時候，可以直接估計計算sin5,sin6之類），但是，對一些普通人來講，那過于麻煩了。

1、 π的定義

上面兩個級數對任意實數x都是收斂的。而且很容易看出sin0 = 0， cos0 = 1 。

另外我們也很容易得到上面兩個定義后的函數的奇偶性，即是說：

根據無窮級數的相關理論上面的兩個級數都是連續，可微，且求導導數的時候還可以使用逐項求導的方法。

于是我們得到

于是有，

說明sin2 x + cos2 x 是常數，代入x = 0，得到

利用上面的式子，我們還能得到關于兩個函數的上下界的不等式。

注意到sin x 連續可導，導函數在零點為cos0 = 1 > 0,說明sinx 在0 點的某個右鄰域內單調遞增，從而在某個區間(0,δ)上，sin x > 0。(*)

我們估計一下來說明sinx存在大于零的零點。這只需要說明sinx有取得負值的點。顯然，sinx，cosx在任何區間上都不恒為常數，于是我們假設sinx > 0恒成立，這時cosx是單調遞減的，用下面兩部分文字來推出矛盾。

若cos x 非負恒成立，則有sinx單調遞增，于是由單調有界原理，可設

則由拉格朗日中值定理，有下面的矛盾：

若存在y使得cos y小于零，那么當x≥y時，cos x < 0，說明在這個區間上sin x單調遞減。

于是由單調有界原理，可設

則由拉格朗日中值定理，有下面的矛盾：

于是，存在y，使得siny < 0，也就是說存在x > 0，使得sinx = 0。

于是我們把下面的實數定義為π。

因為sinx的連續性和(*)的結論，上面的下確界inf符號其實可以換成最小值min，即有π > 0 ，sinπ = 0 。

2、 和角公式和誘導公式

這一部分的內容需要用到常微分方程的相關理論。

注意到，sinx與cosx 都滿足下面這個二階常系數線性方程：

因為sinx和cosx是線性無關的。于是上面方程的解一定有形式：

而對應任意實數y，sin(x+y)也滿足上述方程。所以

代入x = 0，x = -y 得到

同理可得，

于是我們得到了和角公式。

令x = y = π/2 , 得到

注意到由π的定義可得sin(π/2) > 0，可以得到 cos(π/2) = 0, 從而利用sin2x+cos2x=1這個式子得到sin(π/2)=1。再利用一下cos x 在[0, π]的單調性（由π的定義這個區間上cosx 的導數-sinx 非正），得cosπ=-1。

于是反復使用以上公式，我們得到誘導公式，

于是我們知道2π是sinx 和 cos x 的一個正周期，實際上它還是最小的正周期。比如用sinx來說，2π不是最小的正周期，那么存在正數T < 2π還是sinx的正周期，下面三種情況都會得到矛盾。

若T < π ， 則 0 = sin0 = sin( 0 + T ) = sinT ≠ 0 。

若T = π ， 則 1 = sin(π/2) = sin(π/2 + π) =- sin(π/2) = -1 。

若π < T < 2π ， 則 0 < T-π< π ， 有 0 = sin 0 = sin( 0 + T ) = sinT = -sin(T-π) ≠ 0 。

于是，正弦和余弦函數關于周期的性質我們也得到了。

反復利用和角公式，我們得到正弦和余弦二倍角公式是三倍角公式。

利用這些公式，我們得到常用的一些特殊銳角的值，

3、 反函數

我們已經知道，-sinx 在[0,π]內是非正的，且只有孤立的x = 0，π兩個點上取得零值。這說明,cosx 在[0,π]上是式單調遞減的，于是在這個區間上有反函數，記為arccos x。

而sin x = cos(π/2 - x) ，利用復合函數的性質，得到sin x 在[-π/2, π/2]上單調遞增。于是sin x 在這個區間上有反函數，記為arcsin x 。

特別的，我們有arcsin 1 = π/2 ， arcsin (1/2) = π/6， arcsin 0 = 0。

利用反函數的求導法則,對y=arcsin x求導，得到，

同理有

好了，我們已經把正弦和余弦函數的中學中常用的性質推了個遍，那他和圓有什么關系呢？

4、 圓的周長和面積公式

我們知道，圓的周長和面積都是由解析式x2+y2=r2(r > 0)，所圍成圖形決定的。而對于這樣圖形的面積和曲線長，我們利用積分（依賴于極限）有嚴謹的定義。

對于面積，由于對稱性，我們計算下面這個定積分的4倍。

而對于后面的積分，令其為I，我們有

得到I = πr2/4 , 那么它的4倍就是半徑為r的圓的面積,πr2。

對于連續可導的函數y = f(x) ，在區間(a,b)上的那一斷曲線長為：

于是由于對稱性，圓的周長就是下面這個定積分積分的4倍。

于是4倍就得到半徑為r的圓周長2πr。

我們通過上面的積分計算，建立起了圓的兩個重要幾何性質與之前定義的π的聯系。最后我們要看看，π的值到底是多少。

5、 π的值是多少

微積分中，我們知道，下面的公式（|x| < 1，規定(-1)!!= 0!! = 1）：

得到：

兩邊積分有，

代入x=1/2 有

這個級數的收斂速度還不錯，要計算到3.14…..的精度只需要計算4項，計算到3.1415926......的精度只需要10項，耐心一些用手算都可以出結果。它比一般高數書給出的用arctanx的展開式計算π/4的速度快了不少，而后者，就算計算到500項也得不到3.14......的近似值。

學數學一定追求嚴謹到極致？

有句話說得好，數學的嚴謹就像衣服，太緊了不行，太松了不好。如果用這種最嚴謹（目前）的方式來作為起點學習三角函數，這種喪失全部直觀的方式其實并不符合人們認識新事物的規律。另外，由于理解這種方式，需要對實數理論、微積分相當熟悉，而后者要到大學才開始接觸，會拖后三角函數的學習進程。畢竟大部分人使用三角函數，都是使用其函數性質而非它的邏輯底層，完全沒必要把這部分知識放在那么后面。

但是，如果我們追求一個理論的邏輯上的完美，在有一定數學功底之后，來回味一下從實數的基本理論來建立三角函數（或者其他初等函數）的過程，借此品嘗一下數學的“極致嚴謹”小甜點也是一件很有趣的事情。

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