質數，也稱素數，指大于1的自然數中，除了1和本身外，不能被其他自然數整除的數，如：2，3，5，7，11……，通常用“p”表示。

素數的分布規律至歐幾里德以來就是個迷。今天，我們來認識下，素數的重要分布規律——素數定理。這是目前發現的，最重要的且被證明限制素數分布的定理之一。

歐幾里德

歐幾里德在大約公元前300年，就漂亮地證明了素數有無數個，從此人們開始了尋找素數公式的歷程。

大數學家歐拉在給丹尼爾·伯努利的一封信中寫道：'素數的計算公式，在我們這輩子可能找不到了。不過，我還是想用一個式子來表達它，但并不能表示出所有素數。n^2-n 41，n等于1到40'。

歐拉給出的這個多項式，在n=41時失效了，后來哥德巴赫給歐拉的信中提到：'一個整系數多項式，是不可能對所有整數取到素數的，但有些多項式可以得到很多素數。'

后來歐拉漂亮地證明了哥德巴赫的這個猜想，歐拉對數論的貢獻相當多，數論四大定理之一就有個——歐拉定理，而歐拉的素數乘積式，是開啟黎曼猜想的金鑰匙。

歐拉和歐拉乘積式

對素數的研究，歐拉過后，直到高斯才有了進展，大約在1792年，15歲的高斯就發現，素數在自然數中的分布密度，趨近于類似于對數積分的函數。

同時期的數學家勒讓德(A.M.Legendre)也提出了等價的猜想，但他們都無法對其證明，至此，這個問題成了數學界的頂級難題，甚至在數學界流傳著：如果誰證明了這個猜想，那么他將會得到永生。

證我者，得永生！

直到一百多后的1896年，這個猜想才被兩位年輕的數學家阿達馬和德·拉·瓦萊布桑獨立證明，他們的證明都是根據黎曼的思路走的，其中運用到了高深的整函數理論，至此，這個猜想正式升級為定理——素數定理（PNT）。

素數定理

值得一提的，他們兩人一個活了96歲，一個活了98歲。

素數定理還有個初等表達式：

素數定理初等表達式

該定理可以推出很多有趣的結論，比如：

N是素數的概率～1/lnN；

第N個素數～NlnN；

這兩個推論和PNT互為充要條件。

雖然我們有了PNT，但是PNT給出的絕對誤差實在是糟糕透了，比如第10000個素數104729，而PNT給出的是92103，這是數學家不能接受的，我們想要的是準確的素數公式。

直到黎曼在1859年才給出了π(x)的準確表達式：

黎曼關于素數計數函數π(x)的表達式

但是該表達式基于一個猜想為前提，即大名鼎鼎的黎曼猜想，至今乃是數學界待解決的重要猜想。想了解更多黎曼猜想的趣事，可以閱讀我之前的文章呢《若此數學猜想被破解，世界網絡將陷入癱瘓！—黎曼猜想》