一、基本概念理解

1、方向?qū)?shù)：在函數(shù)定義域內(nèi)的點(diǎn)，對(duì)某一方向求導(dǎo)得到的導(dǎo)數(shù)。
2、梯度：是一個(gè)向量（矢量），表示某一函數(shù)在該點(diǎn)處的方向?qū)?shù)沿著該方向取得最大值。
3、通量：在流體運(yùn)動(dòng)中，單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)某單位面積的某屬性量，是表示某屬性量輸送強(qiáng)度的物理量。
4、環(huán)量：一個(gè)矢量沿一條封閉曲線積分。譬如在流場(chǎng)中任取一條封閉曲線，速度沿該封閉曲線的線積分稱為該封閉曲線的速度環(huán)量。就像力做功的計(jì)算方法一樣，形象地稱速度環(huán)量為速度繞封閉曲線的速度功。
5、散度（divergence）可用于表征空間各點(diǎn)矢量場(chǎng)發(fā)散的強(qiáng)弱程度，物理上，散度的意義是場(chǎng)的有源性。當(dāng)div F>0 ，表示該點(diǎn)有散發(fā)通量的正源（發(fā)散源）；當(dāng)div F<0 表示該點(diǎn)有吸收通量的負(fù)源（洞或匯）；當(dāng)div F=0，表示該點(diǎn)無源。
6、旋度是向量分析中的一個(gè)向量算子，可以表示三維向量場(chǎng)對(duì)某一點(diǎn)附近的微元造成的旋轉(zhuǎn)程度。 這個(gè)向量提供了向量場(chǎng)在這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)。旋度向量的方向表示向量場(chǎng)在這一點(diǎn)附近旋轉(zhuǎn)度最大的環(huán)量的旋轉(zhuǎn)軸，它和向量旋轉(zhuǎn)的方向滿足右手定則。旋度向量的大小則是繞著這個(gè)旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的環(huán)量與旋轉(zhuǎn)路徑圍成的面元的面積之比。
7、對(duì)散度的理解
散度不為零說明場(chǎng)是有源場(chǎng)，電場(chǎng)有源無旋，磁場(chǎng)無源有旋。電場(chǎng)是由于分離電荷的存在而產(chǎn)生的，所以有源；但磁場(chǎng)目前還沒有發(fā)現(xiàn)磁單極，所以無源。
8、對(duì)旋度的理解
俗話說有圖有真相，我們看圖說話！

我的理解是會(huì)“旋轉(zhuǎn)”，是因?yàn)槭芰Σ痪鶆蛩鶎?dǎo)致。如第一張圖水流的例子，水流在垂直的上下平面上大小是相同的，所以左邊不產(chǎn)生渦旋。右邊里面會(huì)產(chǎn)生渦旋，是因?yàn)槭芰Σ痪鶆?，在垂直的上下這個(gè)平面上，越往下，力越小，所以產(chǎn)生了渦旋。

二、梯度、散度和旋度的本質(zhì)和聯(lián)系

1、作用對(duì)象、運(yùn)算對(duì)象和結(jié)果

梯度
作用對(duì)象：標(biāo)量場(chǎng)
運(yùn)算對(duì)象：標(biāo)量
運(yùn)算結(jié)果：向量（矢量）
散度
作用對(duì)象：向量場(chǎng)
運(yùn)算對(duì)象：向量
運(yùn)算結(jié)果：標(biāo)量
旋度
作用對(duì)象：向量場(chǎng)
運(yùn)算對(duì)象：向量
運(yùn)算結(jié)果：向量

1.梯度針對(duì)一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)（勢(shì)場(chǎng)），衡量一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的變化方向。梯度為0說明該勢(shì)場(chǎng)是個(gè)等勢(shì)場(chǎng)。其結(jié)果為向量。

2.散度針對(duì)一個(gè)向量場(chǎng)，衡量一個(gè)向量場(chǎng)的單位體積內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)。散度為0說明這個(gè)場(chǎng)沒有源頭。其結(jié)果為標(biāo)量。

3.旋度針對(duì)一個(gè)向量場(chǎng)，衡量一個(gè)向量場(chǎng)的自旋。旋度為0說明這個(gè)場(chǎng)是個(gè)保守場(chǎng)（無旋場(chǎng)），保守場(chǎng)一定是某個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度場(chǎng)。其結(jié)果為矢量。

2、圖解 任何標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度為0

如下圖，電容器內(nèi)部的電場(chǎng)，其實(shí)也就是梯度。對(duì)每個(gè)垂直方向的平面來說，電勢(shì)位相等。所以，這就好比剛才水流的那個(gè)例子，上下來說受力相等，所以旋度為零。

3、電磁場(chǎng)中散度與旋度的求解

在電磁場(chǎng)中任一點(diǎn)處
（1）（▽·E）電場(chǎng)強(qiáng)度的散度==該點(diǎn)處自由電荷的體密度與介電常數(shù)之比。

（2）（▽xE）電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度== 該點(diǎn)處磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率的負(fù)值。

（3）（▽·B）磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度 == 處處等于零。

（4）（▽xB）磁感應(yīng)強(qiáng)度的旋度 == 該點(diǎn)處電流密度與磁導(dǎo)率的乘積。

（5）（▽·D）電位移的散度== 該點(diǎn)處自由電荷的體密度 .

（6）（▽xH）磁場(chǎng)強(qiáng)度的旋度 == 該點(diǎn)處傳導(dǎo)電流密度與位移電流密度 的矢量和。

注釋：
E 是電場(chǎng)強(qiáng)度矢量
B 是磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量
D 是電位移矢量（也叫電感應(yīng)強(qiáng)度） 應(yīng)該還有一個(gè)電傳導(dǎo)向量 E=D+?
H 是磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量 H=B+?
其中內(nèi)在的聯(lián)系是：
D=εE
B=μH
大寫字母都是矢量

4、場(chǎng)的分類

向量場(chǎng)A，數(shù)量場(chǎng)u
▽稱為漢密爾頓算子—— ▽·▽=▽2=△
△稱為拉普拉斯算子。
1.梯度的旋度▽×▽u=0
梯度場(chǎng)的旋度為0，故梯度場(chǎng)是保守場(chǎng)（無旋場(chǎng)、有勢(shì)場(chǎng)）。例如重力場(chǎng)。
2.旋度的散度▽·(▽×A)=0
旋度場(chǎng)的散度為0，故旋度場(chǎng)是無源場(chǎng)。例如磁場(chǎng)，磁場(chǎng)本身是其他場(chǎng)的旋度場(chǎng)。

特別說明一下，勻強(qiáng)場(chǎng)是保守場(chǎng)，磁場(chǎng)本身是有旋度的。因此絕對(duì)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)是不可能的。

拉普拉斯算子△就是偏偏x，偏偏y，偏偏z；拉普拉斯算子是n維歐幾里德空間中的一個(gè)二階微分算子，定義為散度。

托克斯公式斯托克斯公式是格林公式的推廣。格林公式表達(dá)了平面閉區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系。斯托克斯公式則把曲面上的曲面積分與沿著的邊界曲線的曲線積分聯(lián)系起來。