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直觀推導“歐拉公式” 不論是高等數學還是大學物理，歐拉公式都如影隨形。因為其重要性和劃時代意義，Euler Formula(歐拉公式)有著很多了不起的別稱，例如“上帝公式”、“最偉大的數學公式”、“數學家的寶藏”等等。 Leonhard Euler (1707-1783) (圖片來源：Wikipedia) 歐拉公式在數學、物理和工程領域應用廣泛。物理學家理查德·費曼(Richard Phillips Feynman)將歐拉公式稱為：“我們的珍寶”和“數學中最非凡的公式”。 法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon marquis de Laplace)曾這樣評價歐拉對于數學的貢獻：“讀歐拉的著作吧，在任何意義上，他都是我們的大師”。 這個發表于公元1748年的數學公式，將三角函數與復指數函數巧妙地關聯了起來。 其中，e 為自然常數，i 為虛數，x 則是以弧度為單位的參數（變量）。 尤其是當參數x 等于π 的時候，歐拉公式可簡化成為： 上式將5個微妙且看似無關的數學符號e、i、π、0、1緊密地聯系了起來，其美妙之處讓人稱絕。e、i、π 及弧度制的詳細介紹及直觀推導請分別參見：
萊昂納德·歐拉簡介 萊昂納德·歐拉(Leonhard Euler) 1707年生于瑞士巴塞爾，他的父親保羅(Paul Euler)是一位基督教牧師，他父親原本也想將歐拉培養為一名牧師。 但巧的是他的父親與伯努利家族關系很不錯，而伯努利家族是17?18世紀瑞士的一個赫赫有名的家族，其中出了很多著名的數理科學家。伯努利原籍比利時安特衛普，1583年遭天主教迫害遷往德國法蘭克福，最后定居瑞士巴塞爾。其中以雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli），約翰·伯努利（Johann Bernoulli），丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）這三人的成就最大。雅可比·伯努利是約翰·伯努利的哥哥，也就是首此發現自然常數e 的那位。而丹尼爾·伯努利是約翰·伯努利的兒子。 約翰·伯努利很早就看出了幼年歐拉的數學天賦，他勸說歐拉的父親保羅，讓歐拉從事數學研究領域的工作，并使他相信歐拉注定能成為一位偉大的數學家。 因此，13歲時就進入了巴塞爾大學學習的歐拉，雖然按照他父親的意愿主修哲學和法律，并進入了神學系，但在每周星期六下午便跟隨當時歐洲最優秀的數學家約翰·伯努利學習數學。 同一時期，約翰·伯努利的兩個兒子——丹尼爾·伯努利和尼古拉·伯努利（Nicolas Bernoulli）——在位于俄國圣彼得堡的俄國皇家科學院工作。在尼古拉因闌尾炎于1726年7月去世后，丹尼爾便接替了他在數學/物理學所的職位，同時推薦歐拉到數學/物理學所工作。 St. Petersburg Academy of Science (圖片來源：Wikipedia) 考慮到當時俄國的持續的動亂，歐拉在1741年離開了圣彼得堡，到柏林科學院就職。 Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften (圖片來源：Wikipedia) 在柏林，他出版了他最有名的兩部作品：一部關于函數方面出版于1748年的《無窮小分析引論》和一部是關于微積分出版于1755年的《微積分概論》。在《無窮小分析引論》(Introduction to Analysis of the Infinity)中，歐拉提出了著名的“歐拉公式”。 開頭介紹了歐拉公式的一種通用寫法是： 其將復指數與正弦、余弦函數聯系了起來。那么這是如何做到的？能否更加直觀一點呢？ 通常書本上給出的都是歐拉公式的驗證而不是推導，例如，很多人會說：只要分別將兩邊的自然指數函數和三角函數用泰勒級數展開，即可得出兩邊相等的結論，但這只是驗證而非真正的推導，就連《費曼物理學講義》里面的計算也是如此。 為了讓其更加易于理解，這里試著用直觀的方式給予推導！ 首先，需要記住的一點是：Euler方程等號兩邊都可以看作是描述在一個圓上的位置或者運動。 如果我們用三角函數去描述圓心在復平面原點處的單位圓上的位置或圓周運動軌跡，當圓弧角為x 弧度時，如圖有： (圖片來源: betterexplained)
因此采用復數cos(x)+i·sin(x)，即可描述單位圓周上點的位置或運動軌跡。 用復數來描述坐標還比較好理解，那么歐拉公式左邊的復指數又代表的是什么呢？（由于歐拉公式左邊復指數中的實部為零，只包含虛部，因此也可以稱之為虛指數） 先舉個與實指數相關的例子，當看到34時，你可以把它看作是4個3連乘，但也可以換一個角度看。因為作為底數來說，e 作為自然底數，是所有連續復利增長過程都共有的基本屬性，其內涵的是單位數量在經過單位時間增長率為100%的連續復利增值后的最終結果，“連續復利”的定義請見：《自然常數e到底自然在哪？》。 我們可以將34改寫為eln(3)·4，其數學內涵可以解釋為：單位數量在單位時間增長率為ln(3)的連續復利情況下，經過4個單位時間增長后的最終結果。 通式可以寫為：Q=erate·time。 其中，rate表示單位時間的增長率，time表示經歷了多少個單位時間的增長，而Q 表示最終增長結果是初始值的多少倍。 因此，跳開數值本身的大小問題，我們把“乘以實指數”看成是初始值的一種“增長”或者說是對初始值的一種“推動”作用（這里的“初試值”是具有大小和方向屬性的“復數”，復數包含實數和虛數，表達式可寫為：復數=實部+i·虛部）。 例如實數3，可將其看做是：單位時間增長率為ln(3)≈1.1，初始值以該增長率連續復利增長，經過單位時間后最終結果將是eln(3)·1=3。 這里先只考慮了增長率為實數時的增長作用，而以實數為增長率的這種“增長”或“推動”是沿著初始值的方向進行的（復數可以看作是復平面上的矢量，因此具有方向屬性）。 (圖片來源: betterexplained) 而虛指數所帶來的增長作用就和實指數有所不同，虛指數的增長作用的方向與初始值的方向垂直，且隨著數值的變化始終保持著這種垂直的關系，詳情請見：《虛數i真的很“虛”嗎？》。這種增長方式并不改變數的大小，而只改變復數的方向！例如，讓任何數乘以虛數i，都不會改變數的大?。ɑ蚰ｉL），而是改變數的方向。 在《自然常數e到底自然在哪？》中已經給出了自然底數e的定義式： 不過在上式中，我們假設的增長率為實數，但是，如果增長率為虛數呢？
其增長的示意圖如下圖所示：
(圖片來源: betterexplained) 現在，“新的增長率”其實一直是沿著復數的垂直方向。并且這并不會改變復數的長度，但有人會提出質疑，因為上圖所示的示意圖是由一個個直角三角形組成，斜邊當然比直角邊更大。 但要知道，我們正在處理的是一個極限問題，當n→∞（其實n可以看作到達最后結果所經歷的增長步數，這個增長步數是我們人為設定的，上圖中的每個藍色的直角邊都代表一步），則藍色的直角邊將越接近斜邊。 最終將得到的結果是：復數長度（模長）不變的連續旋轉。這是處理其與正弦、余弦之間關系的核心概念，當復數的增量始終與復數的方向保持垂直，得到的軌跡必將是一個圓！ 下面用公式來證明這一過程：
復數的模長為實部平方與虛部平方的和的平方根；轉角為虛部除以實部的反正切值。
對于上式，如果n=1，則為1+i；（注意復數的運算法則是：所有模長增量相乘得到最終模長；所有轉角增量相加得到最終轉角）
如果上式中n=2，則為(1+i/2) 2；
即將n=1的一步完成增長變為了n=2的兩步完成增長。 那么當n→∞時，分步增長就變成了連續增長問題；
實際上就是復數1+i·0逆時針旋轉，每一小步的增長方向都和復數指向方向垂直，且保證模長不變，因此極限狀態就是圓周運動，最后轉動角度為1弧度。 即ei=cos1+i·sin1。 那對于更為普遍exi 呢？當n→∞時；
實際上也是復數1+i·0逆時針不斷旋轉，每一小步的轉動方向都和復數指向方向垂直，且保證模長不變，因此極限狀態也是圓周運動，所以當然可以用歐拉公式等號右邊三角函數法定義的單位圓周上的點來完全等效（注意：這里的x 都采用弧度制）。 即exi=cosx+i·sinx 如果 x 是隨時間線性變化的參數，則可以得到以下三維等徑螺旋線，該螺旋線在復平面上的投影是一個圓，投影點在圓上的運動為勻速圓周運動。
（圖片來源：Brilliant） |
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