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二維空間的封閉是圓,三維是球,那四維是什么?

 沙灘的海鷗 2019-03-06

答:四維空間對應超體,其中球對應超球體,立方體對應超立方體。


人類大腦能模擬三維空間中的復雜模型,但是要模擬四維空間就非常難,主要原因還是四維空間包含的信息太多,人類大腦難以處理,而且低維空間中難以展現高維空間的所有信息。

對于四維空間,我們能做的理解方式就是類比,用低維類比高維,從而推斷出高維空間具有的性質,為了表現四維空間中的規律,我們需要對其進行降維處理,我們一步一步來。

數學是非常好的工具,可以幫助我們處理一切維度,數學中降維方式之一就是“投影”,本質上投影就是一種函數變換,把高維物體的某些信息放到低維中展現。


一維投影

零維是點,點在N維空間中,就有N個變量來描述點的位置;一維是線,在數學中線是一組連續點坐標的集合,如果把一維的線投影到零維空間,就是一個點。


二維投影

二維是面,在數學中,二維是無窮根線組成的面,面在一維中的投影是線。


三維投影

三維是體,比如三維中的立方體,立方體在二維平面中的投影就比較復雜了,不同角度下的投影,會得到不同的形狀,可以是矩形或者其他多邊形。

如上圖,無論在哪個角度,二維平面中的投影都只能是平面圖形,每次投影得到的圖形,只包含立方體的一部分信息;隨著各個角度的變換,三維立方體的信息才會全部展現出來。


四維投影

立方體對應超立方體,球體對應超球體,但是我們無法想象四維空間中的事物;不過我們類比以上投影,可以推測出,超立方體在三維空間中的投影具有以下性質:

(1)在三維空間中,超立方體的投影表現為三維立體圖形;

(2)隨著投影角度的變化,三維中的投影會出現不同的形態;

(3)最簡單的三維投影圖是立方體;

要根據以上性質去想象超立方體是很難的,上圖展示的,就是超立方體在不同投影角度下的三維形態。超立方體包含的信息量,遠遠高于三維中的立方體。


高維投影

人類無法想象高維事物,但是數學可以幫助我們理解高維事物的性質,比如著名的卡拉比-丘成桐空間,就是一個六維空間,這個六維空間在三維中的投影,可以用計算機模擬出來,如下圖。

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