譯者 (林開亮) 按：原文標題 The Interaction between Geometry and Physics鏈接內容，譯自 Pavel Etingof，Vladimir Retakh，I. M. Singer 主編的 Progress in Mathematics 叢書 244號 The Unity of Mathematics: in honour of the ninetieth birthday of I.M. Gel'fand（ Birkhauser-Boston, 2004）。譯者林開亮感謝首都師范大學邵紅亮、王麗芳、吳帆等同學的幫助。文中注記均為譯者加。參考文獻略去，請讀者見諒。

這個會議的主題是“數學的統一性”，這恰如其分地表達了 Gel'fand 先生的觀點，而且在先生涉獵廣泛的諸多原創工作中有充分的體現。我贊同這一觀點，并且樂于描述一個代表數學和物理學的統一性的最迷人的例子。演講者也被鼓勵要敢于大膽推測、勇于展望未來——這同樣也是先生的性格。于我而言，這恐怕是一個不必要的、甚至是危險的指令，因為我的朋友認為我過分傾向于作瘋狂的推測，非常輕率的熱情必須冷卻而不是被鼓動。即使如此，我還是想斗膽地對未來作些展望，正確與否且留與后人評說。

長久以來，數學和物理學相互影響，成果頗豐。事實上，只是到了最近，隨著知識專業化趨勢的增強，這兩個領域之間才劃分出一些明顯的界限。1950年左右我在劍橋做學生的時候，要學習包括物理學和機械學在內的“自然哲學”，作為數學榮譽學位考試（注：數學榮譽學位考試(mathematical tripos)是劍橋大學獨有的傳統的數學考試，也是世界上最難的數學考試。有興趣了解的讀者請參見維基百科。）的一部分。回溯得更遠一些，Newton 應歸于數學家還是物理學家一直是雙方爭論不休的焦點。

物理學在19世紀末20世紀初的最偉大的理論突破——電磁學，廣義相對論和量子力學都是高深的數學，而且，不可能用非數學的形式來描述現代物理學。Michael Faraday 是最后一個不擅長數學的偉大物理學家。數學如此廣泛地滲透物理，以至于 Eugene Wigner 稱之為“數學在物理學中的不可思議的有效性”，這后來成為一個經常被引用的習語。

對哲學家和科學家來說，物理學的數學描述是否反映了“現實”或者只是人類心智的被迫接受，是一個歷史久遠而且吸引人的問題。我個人確信，來自于神經生理學的關于大腦如何運作的洞察，將會給這個古老的問題投來一線光明，甚至會改變現在對這個問題的提法。

粗略地回顧歷史，從稍微近代的諸多事件中可以看出，數學和物理學之間的相互作用有一些明顯的擺動。在二次世界大戰之后，加速器產生了眾多的新粒子，在這段時期，理論物理學家致力于解決量子場論中出現的令人苦惱的無窮大的問題，然而大多數數學家對此不感興趣。確實，也總有一些數學家試圖拼命地建立基礎，遠離前沿，而且物理學家也在掌握 Feynman 圖與逐漸給場景帶來秩序的 Lie 群對稱的技巧方面顯示了高超的藝術鑒賞力。但是所有這些讓數學界受益很少，除非把像 Freeman Dyson （注：Freeman Dyson，數學家、理論物理學家、作家。他1947年從數學轉向物理，1948年在量子場論的重整化方面作出了杰出貢獻。在1970年代，他在美國數學會曾作過一個題為“錯失的機會”的Gibbs演講，呼吁數學家要與物理學家溝通。作為一個作家，他的很多書被譯成中文，例如《宇宙波瀾》、《全方位的無限》等。）這樣的皈依者算進來，因此對數學研究影響甚微。

20世紀70年代中期規范理論出現以后，情況突然發生了改變。規范理論以微分幾何為背景，是基本粒子的量子場論最受歡迎的框架。
從此數學家和物理學家不僅有了一門公共的語言，而且很快發現，這兩方面的一些最微妙的問題是緊密聯系的。規范理論把量子場論的“反常”（anomalies）與橢圓型偏微分算子的指標理論聯系起來。

突然一座新的橋梁架起來了，或者用另一比喻，從兩個不同的源頭引出的地下泉突然相遇了，猶如鬼斧神工。這一次，數學家不是在建立基礎，他們沖鋒陷陣在最前線。

我對那段山雨欲來的日子記憶猶新，特別是1975年我和物理學家們在 MIT 參加的一個會議，包括 Roman Jackiw 和年輕的 Edward Witten（他在那時就給我留下了深刻的印象）。我還記得 Jackiw 問起，數學和物理學的這一輪新的相互交融只是一段風流韻事還是百年好合！

好了，現在我們慶祝著這個牢固建立起來的銀婚紀念。過去的25年我們看到了一朵朵美麗的奇葩盛開，對兩個學科都產生了極大的影響。年輕一代的理論物理學家很快地掌握了20世紀的許多數學知識，涉及代數幾何、微分幾何和拓撲學的各個領域。他們中有許多能夠像拓撲學專業最聰明的研究生那樣精巧地操作譜序列，而且物理學家經常向我們數學家提出幾何和拓撲中那些將我們的知識延伸到極限的最透徹和最深奧的問題。

在今天這樣的場合，采取一般的觀點看起來更合適，所以我將嘗試迅速地概覽一下（廣義下的）新物理學對幾何的影響。這常常以對幾何中的一些意外的結果或公式的一種具有相當的精度和細節的預言的形式出現。這些預言很少是在有任何形式證明的基礎上提出來的，雖然有時可以通過努力從物理學中析取出來。通常留給數學家的只是采用間接的、概念更少的方法去驗證這些令人不可思議的結果和公式。

令人驚奇的不僅僅是這些結果的普遍性，還有就是這個預言結果的程序竟然如此地成功。雖然缺乏任何堅實的基礎，物理直覺和技巧的精妙運用至今還沒有引出任何錯誤的結論。這不得不誘導我嘗試著去顛倒 Wigner 的格言而驚嘆于“物理在數學中不可思議的有效性”。（注：E. P. Wigner，1965年諾貝爾物理學獎得主。他在1959年曾做過一個題為“數學在自然科學中不可思議的有效性”的演講，頗具影響，中譯文可見《數學譯林》2005年第1期。他的傳記《亂世學人》有中譯本。）

先回顧幾何學和物理學的一些背景知識，這將有助于我們理解二者之間的相互影響。

我們從幾何開始。正如前面所提到的，纖維叢的微分幾何，包括聯絡和曲率，都是基本的知識。它與物理的聯系本質上可以追溯到 Hermann Weyl 從幾何上解釋 Maxwell 方程的努力以及后來 Kaluza 的改進。這正是交換的-叢的情形，非交換情形需要一般的李群 ，而且更加成熟，它的豐富的數學進展很晚才出現。（注：Atiyah這里所指的非交換情形是1954年由楊振寧與 Mills 提出的Yang-Mills理論，又稱為規范場論，其數學進展直到1975年楊振寧與吳大峻給出了規范場的整體表述以后才迅猛發展。規范場的思想最初由Hermann Weyl提出，但是他只考慮了交換李群的情況（電磁場），而未能夠發展出非交換的對應理論。Yang-Mills 理論 Hermann Weyl 夢寐以求的一個幾何—物理理論。對此，我們特別推薦 Hermann Weyl 的文章《幾何學與物理學》，中譯文見于《詩魂數學家的沉思》（袁向東編譯，南京，江蘇教育出版社，2007）。可以說，Atiyah的這個演講主題是 Weyl 的幾何—物理思想在21世紀的一個延續與開拓。）

另一個重要的成分是 Hodge 關于調和形式的理論的先驅工作，特別是 K\"{a}hler 流形的理論在代數幾何中的美妙應用。

Witten 指出，Hodge 理論應當看成超對稱量子力學，這就在兩邊的核心概念之間建立了一座重要的橋梁。而且，當推廣到量子場論時，數學家發現物理學家總是努力使 Hodge 理論在無窮維具有意義。他們在這個嘗試中的成功依賴于一些可以追溯到 Dirac 的微妙的物理想法，這是數學家應該吸收的。

二戰結束后，在接下來的十年里，拓撲在幾何學中占有中心的位置，新的概念和技巧導致了對微分幾何和代數幾何中的一些整體性拓撲問題的一個很好的理解，這在 Hirzebruch 對 Riemann-Roch 定理的著名推廣中達到頂點。這需要富有技巧地使用以示性類理論為中心的代數工具，還有 J. A. Todd 發現的引人注目的多項式。

所有這些都主要受到經典代數幾何中的一些問題的刺激，現在用 Leary，Cartan 和 Serre 的層的上同調這類強有力的工具討論。可以肯定地說，這一數學進展最初與物理學毫無關聯。

事實上，關于新的幾何—物理相互影響的最顯著的事實在于拓撲是其核心紐帶。其根源可以追溯到 Dirac。他對電荷量子化——所有粒子的電荷是電子的電荷的整數倍——的解釋本質上是拓撲的。采用現代的術語，他論證了，在一個磁單極的場中運動的帶電粒子具有一個量子力學波函數，這個波函數是一個復線叢的截面（定義在磁單極以外）。因此，雖然經典力學可以純粹局部地用微分幾何的公式表達，但是量子力學要求一個整體的拓撲觀點，而且整數值的拓撲不變量對應著量子化的電荷。

弦論出現以后，量子理論和拓撲的這個聯系才浮現出來，弦論具有四維時空之外的額外維數的 Kaluza-Klein 擬設。額外維數的幾何和拓撲提供了物理學與現代幾何的主流發展的一個有力聯系。

很久以前，人們已經熟知了李群和對稱在物理學中的作用，現在又在幾何和拓撲中有了一些應用。但是，作為弦論中介的高維 Kaluza-Klein 空間，涉及到那些不一定是李群的齊性空間的流形。這意味著僅僅依靠代數是不夠的，現代幾何的全部工具，包括 Hodge 理論和層的上同調，都是需要的。

正如第一節所簡要提到的，幾何與物理的一個重要聯系來自于“反常”及其與指標問題的關聯。這是 Hirzebruch 關于 Riemann-Roch 定理和 Todd 多項式的工作的自然推廣，而且現在看來，它們的變形在物理上非常重要。事實上，Hirzebruch 的工作被 Grothendieck 引進 -理論 而推廣了，從拓撲的角度看，這是物理學中研究反常的一個精制的工具。關于“反常”有一些純粹是整體的積分公式，而且不存在相應的局部積分公式，-理論可以探測出那些扭曲不變量。這些線索以及其他一些線索暗示我們，-理論在量子物理學中起著基本的作用，但是其更深層次的意義目前還不清楚。

最后，我想對旋量的作用說幾句。自從 Dirac 把旋量引入物理，它就起著基本的作用，提供了這個理論的費米子。在數學上，旋量可以從代數上很好地理解（追溯到 Hamilton 和 Clifford），而且它在正交群的表示論中的作用提供了它與物理學的聯系。但是，在整體幾何中，我們對旋量的理解還很少。Dirac 算子可以定義在旋量場上，而且它的平方類似于 Hodge-Laplace 算子。Dirac 算子的指標由前面提到的、與反常相聯系的拓撲公式給出。雖然微分形式的幾何意義（作為積分元）是清晰的，但是旋量場的幾何意義仍然很神秘。它能夠從幾何上理解的唯一情形是對復 K\"{a}hler 流形，
此時全純函數本質上提取了所需要的“幾何上的平方根”。Gauss 以說過 的形而上學的真正意義并非那么簡單而為人稱譽。我們可以對旋量說同樣的話，它也是一種神奇的平方根。這或許仍然是幾何—物理邊緣最深奧的奇跡。

雖然弦論在基本的水平上可能需要更高的維數，但是在正常的能量范圍內我們還是在四維時空操作，而額外的 Kaluza-Klein 維數僅僅決定我們所要處理的場和粒子的類型。

由于四維理論出現了許多困難的問題，稍簡單些的低維“玩具模型”（toy models）的研究將是有用的。我們可以想象，存在著一個維數等級，當維數增加時理論變得越來越復雜。一般的，我們寫時空的維數為 ，其中 為空間的維數。

對 ，我們正好有量子力學以及與之相聯系的數學，有限維流形、李群等。對 ，我們得到了第一個層次上的量子場論，包括閉路空間和閉路群之類的東西。這里許多東西都可以用嚴格的數學方法處理，這是一個廣泛而成熟的領域。對 ，量子場論變得更加精確，而且很大程度上還是一個有待解決的問題。這甚至比現實世界的 的情形還要精確。

當 增加時，復雜度的增加反映在（或許歸因于）Riemann 曲率的復雜度的增加。 時沒有曲率， 時僅有標量曲率 時有 Ricci 曲率， 時有了完整的 Riemann 曲率張量。從 Einstein 方程來看，對經典相對論來說，這與維數 時幾何結構的困難性的增加有關。在 的情形我們有 Riemann 曲面（或常曲率曲面）的經典理論。當 時，三維流形的理論已然深刻得多了，并且被 Thurston（以及最近的 Perelman）的工作弄清楚了。 的情形很不相同，正如 Donaldson 利用來自于物理學的一些想法（我們將在后邊談論）所揭示的那樣。

在接下來的幾個小節中，我們將按照維數從小到大的順序，評述一下物理學對數學產生影響的一些方式。但是，在開始之前，我先做一個通用的一般評注。通常的，在這些應用中，會出現一些依賴于象度數那樣的整數型參變量的公式。從物理學的觀點來看，自然出現的對象是那些諸如對所有參量值求和得到的一個生成函數之類的東西。這并不是幾何學家尋求答案的傳統方式，而且從物理學引發的一個值得注意的洞察是，那些生成函數是非常自然的對象，有時候它們是某個微分方程的解。

4.1 剛性定理

緊致流形 上的橢圓型微分算子的解空間 是有限維的。如果緊致群 作用在這個流形上，且保持此算子，則 成為 的一個表示空間。在非常特殊的情形，我們有所謂的剛性定理，也就是說 在 上的表示是平凡的。例如， 是 階調和形式的空間，而且若 連通，則由 Hodge 理論， 在 上的作用是平凡的。另一個不同的例子是，若我們取 Dirac 算子 和旋量流形 （其維數為 ），則 和它的伴隨 具有解空間 和 ，而 的指標則定義為

的指標.

若 在 上的作用保持度量，則它與 可交換，因此 和 成為 的表示空間，而且指標實質上成為一個真正的表示或特征標。這個剛性定理（歸功于 Atiyah 和 Hirzebruch）斷言，這個特征標是平凡的，也就是說，等于一個常數。（事實上，更確切地有：對非平凡的作用它等于零。）

通過量子場論（從時空到 的映射）的一些討論，人們發現了對聯系于某些叢的 Dirac 算子的一整串剛性定理。而且，生成函數最終可以表達為模形式，這是量子場論的相對性不變性所預言的一個結果。

這個發現刺激了拓撲學的一個全新分支，稱為“橢圓上同調”，正如 Michael Hopkins [6]所解釋的，它與數論有著迷人的聯系。

這個課題是物理對微分拓撲的一個應用，這一節的其他內容將與代數幾何緊密相關。

4.2 叢的模空間

代數曲線的 Jacobian 對它上邊的所有階為零的全純線叢給出了分類。它可描述為平坦 -叢的模空間。對 函數的研究是19世紀數學的一個主要特征。它有一個到高秩向量叢的自然推廣，這個研究始于20世紀中期，而且更加棘手。特別地，關于這些模空間的拓撲我們還知之甚少。

二維的量子場論再一次導致了聯系于這些模空間的上同調的漂亮公式。受物理學的啟發，現在有了這些結果的嚴格的數學證明。

4.3 曲線的模空間

與4.2節提到的模空間類似但比之更為深刻的是虧格為 的曲線的模空間。模函數的經典理論處理的是 的情形，但是對高虧格的情形，橢圓空間還不知道。

正如4.2節所述，物理學家對模空間的上同調得到了一些引人注目的公式。這一次與之相關的物理是引力理論而不是規范理論，而且對弦論非常重要。

4.4 量子上同調

經典幾何導致了許多計數問題，最簡單的一個例子是，數出一個給定代數簇的一些子簇的公共點的個數。這導致了相交理論的產生，Lefschetz 又將這一理論發展成為同調論的一個方面。隨后它又被看成上同調理論的環結構。

當我們要去數曲線而不是點時，一類更深刻的計數問題出現了。在一個給定的代數簇上，滿足給定要求（階數，虧格，奇異結構）的曲線有多少？即使對于平面的情形，這也是一個沒有解決的難題。

在量子場論中，同調曲線作為二維量子場論中的“瞬子”（instantons）出現，它可以度量這個理論的重要的非擾動特性。

把虧格為零的瞬子考慮在內，特別地導致了聯系于流形的切叢的一個環，它依賴于參量 而且在取經典極限 時得到一個上同調環。這個新的環被稱為量子上同調環，它編譯了關于有理曲線的數目的信息。

對某些簇已經計算出其量子上同調環，因此得到了顯式的計數公式。要提到的一個要點是，量子上同調環僅僅分級為奇、偶兩部分，而不像經典的上同調環那樣具有整數型的分級結構。

4.5 鏡像對稱

這個課題，現在已經發展成為一個大規模的專題，它與4.4節的內容相關，而且是解決計數問題的一種方法。

物理學家發現，某些代數簇 和 成對出現，稱之為鏡像對。最有意思的情形是當 和 為第一陳類為零的三維復代數簇（Calabi-Yau流形）的情形。關于鏡像對稱最值得注意的是， 和 具有非常不同的拓撲。事實上， 的奇（偶）數階 Betti 數等于 的偶（奇）數階 Betti 數，因而

，

這里 是 Euler 示性數。

對物理學家來說， 和 導出的二維量子場論是等價的，但是對需要計算 上瞬子的量子不變量可以通過由 上積分的周期給出的經典不變量來計算。這就是該理論能夠得出有效的計算公式以及力量強大的原因所在。

鏡像對稱的數學研究現在進展得非常遠，涵蓋了復幾何與辛幾何。最近的工作是用導出范疇的語言敘述的，令人驚奇的是，如此高度抽象的數學技巧最終竟然與物理學中的弦論相關。

毫無疑問，三維的量子場論最驚人的應用是 Witten 對由 Vaughan Jones 發現的多項式紐結不變量的解釋。從 Jones 的工作已經看到，他的不變量本質上是新的而且非常有效。老的猜想很快被解決了。Witten 的工作展示了如何通過由 Chern-Simons 拉格朗日量定義的量子場論來理解 Jones 不變量。這樣做的一個直接好處是，這將對所有的定向三維流形有效，而不僅僅是 。特別的，考慮平凡的紐結將得到緊致三維流形的數值不變量。

這些發展刺激了幾何學家的大量工作。特別的，產生了一些完全嚴格而且模仿了許多物理的組合處理。

在三維，我們處在一個奇怪的境地，此時有兩種完全不同的理論。一方面我們有已經討論過的量子不變量，另一方面還有 Thurston 關于幾何結構的艱深工作，其中三維雙曲流形作為最重要的特殊情形。這兩個理論之間聯系極少甚至沒有，這是一個長期存在的尷尬局面。例如，給定一個顯式的緊致三維雙曲流形，如何計算它的量子不變量？對一些簡單的結構（正曲率或纖維叢）已經得到答案，但是對雙曲情形還沒有。

近來提出的一些猜想提供了一個普遍的聯系，即，把雙曲體積看作是 Jones 不變量的極限。特別的，Gukov[5]試圖利用緊密聯系于三維引力理論的非緊致群 的 Chern-Simons 理論建立這個聯系的基礎。這是 Witten 和其他人早期工作的繼續。這看起來非常有前途，有望與 Perelman [9]最近的工作聯系起來。

看看當前的研究并瞭望未來，我或許可以作一些進一步的評論。

首先，雖然量子場論對 Jones 理論的大部分性質給出了相當令人滿意的解釋，但在一個非常重要的方面失敗了。它沒有解釋為什么 Jones 多項式的系數是\emph{整數}。在 Witten 的描述中，Jones 多項式在某些單位根處的值是期望值，而物理學并沒有表明它們有任何算術性質的跡象。

一個完全基本的處理應該給出這樣一個解釋，同時又要保持量子場論觀點的優美。

剛才，演講之后有人告訴我，最近 Khovanov [7]的工作給出了 Jones 多項式系數的整性的一個直接解釋。Khovanov 從一個紐結出發構造了某個作為不變量的同調群，而 Jones 系數作為 Euler 示性數出現。雖然這解釋了它們的整性，但是并沒有揭示出這些Khovanov 同調群與物理學的聯系。

關于同調三維空間的 Casson 不變量的情況也類似。一方面，Witten 已經表明它可以由 Chern-Simons 理論的一個變形給出。另一方面，它也可以解釋為 Floer 上同調群的 Euler 示性數，Floer 上同調群是 Donaldson 四維量子場論（下一節將會談論）的 Hilbert 空間。這暗示我們，Khovanov 同調群或許可以簡單地解釋為某個四維量子場論的 Hilbert 空間。目前好像還不知道這樣一個理論。

從另一個方向推測，我注意到 Jones 多項式可以自然地看成是單位圓群的一個特征標，而這些整數恰好對應著不可約表示的重數。你或許要問這個單位圓是從哪里來的。因為 Jones 研究的紐結是 中的經典紐結，在 處就有一個 ， 作用在上面。而且， 的等變 -理論由圓群 的特征環給出

。

這里 作為該作用的穩定子群出現（并且在共軛下唯一）。因為 -理論看起來在量子場論中起著特殊的作用，將 Jones 多項式解釋為 的等變 -理論的一個例子是吸引人的，這里我們把 想像成任意一個包圍這個紐結的大的二維球面。支持這個想法的一個事實是，關于鏈（紐結的推廣）的 Jones 多項式包括 的整數級數，它對應著我們原來的 的雙重覆疊的特征標。正如一個物理學家所可能做的，我們用 代替 是自然的。

這些等變 -群不僅出現在與 中紐結的聯系中，而且出現在與 中的不同點的有限構形 [2]的聯系中。這個想法在 [3]中所作的關于 Hecke 代數的進一步猜想中得到了強調，Hecke 代數為 Jones 提供了對紐結不變量的最初觀點。

正如[2]中所解釋的，那里需要的二維球面自然是復二維球面，它是 Minkowski 空間光錐的基礎。這里所提出的與量子理論的聯系與 Roger Penrose 的思想精神（我們將在第9節提到）一致。

關于 Donaldson 理論，我之前已經提過好幾次了，現在我將詳細闡述這一理論。

對任意的緊致定向四維流形 ，緊致李群 和正整數 ，Donaldson 研究了 -瞬子的模空間 。-瞬子是 上 -主叢（具有由 指定的拓撲）的反自對偶聯絡。為此，首先需要選取一個 Riemann 度量（或者更確切的，一個共形結構），然后計算出 上的一些相交數，并證明它們與度量的選取無關。通過這種方式，Donaldson 定義了 的不變量，它們只是 的二階同調類的多項式。

正如現在熟知的，已經證明 Donaldson 不變量對區分四維流形非常成功。Freedman 剛剛結束了四維拓撲流形的課題，Donaldson 不變量就揭開了四維光滑流形的課題。

雖然應用瞬子的想法來自物理學，但是 Donaldson 只利用了 Yang-Mills 理論的經典方程。然而 Witten 緊接著論證了 Donaldson 理論可以解釋為一個恰當的四維量子場論。而且，這不過是 的超對稱 Yang-Mills 的標準理論的一個變形。

對物理學家來說，Donaldson 理論的物理解釋是有趣的，但是數學研究將從中受益多少尚未可知。然而，幾年以后，處境一下子豁然開朗了。作為量子場論中關于對偶的一些非常一般的思想的一部分，Seiberg 和 Witten 創造了被期望等價于 Donaldson 理論的一個完全不同的理論。雖然這種等價性目前還沒有一個嚴格證明，但是數學家對此堅信不疑。從技術上來說，Seiberg-Witten 方程更容易掌握，所以在很多情形更有用。特別的，它導致了 Ren\'{e} Thom 關于嵌入到 的曲面的虧格的古老猜想的一個證明。

應該強調，Donaldson 理論與 Seiberg-Witten 理論之間的等價是生成函數之間的等價。這兩個理論理論都有它的瞬子，但是單個階數的瞬子之間沒有簡單的關系，僅在取遍所有階數的總和之間存在簡單的關系。這可以與經典的 Possion 求和公式比較，它將一個格上的求和表達為其對偶格上的 Fourier 變換的求和。因此，量子場論的這種對偶應該看成 Fourier 變換的某種非線性類比。我將在演講的末尾回到這個主題。

由經典方程導出的 Seiberg-Witten 理論的一個驚人特性是，它處理的是一個耦合了非線性的 旋量理論。因此旋量在這里明顯出現，然而它并不出現在 Donaldson 理論中。這再一次加深了旋量的神秘性，也進一步說明了我們對旋量還缺乏深刻的理解。

目前還不清楚，如此多樣而精致的 Donaldson 理論是否能夠解釋一切四維幾何現象。也許能夠，但是也許還需要一百年去理解四維的幾何，正如從 Riemann 曲面到三維流形的一個同等程度的理解歷經了一個世紀一樣。如果是這樣，這將伴隨著真正理解時空的物理的一個類似時期，在最后一節我將回到時空的物理這個話題。

正如我快速勾畫出的，在很多重要領域中，量子場論都得到了拓撲結果。這實際上都是拓撲量子場論。這是特別簡單的理論，在這里唯一的產品是拓撲的。這樣一個理論的哈米爾頓量是零，所以沒有連續的力學。雖然如此，這個理論與拓撲現象具有非平凡的聯系。這使得這個領域更加簡單，從而數學上更加容易處理。我在 [1]中給出了拓撲量子場論的一個公理化描述，類似于 Eilenberg 和 Steenrod 對同調論的經典公理化。這樣一個理論的關鍵部分是利用一些原則上（正如同調論）是組合或分析的顯式方法給出其構造。

對一個務實的物理學家來說，這種純拓撲的理論看起來似乎沒有什么重要的意義。但這是不對的，原因有二。首先，真正的物理量子場論可以有兩個來源。其一，我們有小擾動的分析研究，但是這很大程度上基于標準例子和擾動理論。其二，存在非擾動現象而且它們可以用純拓撲理論很好地加以解釋。

其次，在研究非擾動效應的過程中，拓撲理論不僅可以作為模型，還可以從一個物理理論的極限過程產生。簡單地解釋一下，我們考慮 Hodge 理論，或者超對稱量子力學。完整的理論要求我們知道 Hodge-Laplace 算子的所有特征值。但是在標度變換下我們可以考慮當所有特征值變得很大的極限情形，此時僅有零特征值保存下來。這就重新得到了其同調（作為調和形式）。

雖然我僅僅講了量子場論，幾何和物理的聯系也延伸到弦論。特別地，Witten 已經表明對 的 Chern-Simons 理論，在其擾動形式下，就是對 的開弦的拓撲弦論，這里 是 的余切叢，以 -截面作為弦必須閉合的一個 重膜。

最近，Vafa 和其他一些人證明了這一理論與 上的一個秩為 的向量叢的閉弦的（拓撲）理論對偶。在這個對偶下，Chern-Simons 規范理論在高階(large level)的擾動展開與閉弦理論對大 (large N)的擾動展開互換。這個對偶背后的幾何可以在 -理論中用一個適當的具 -和樂群的七維流形最好地理解。

Vafa 的對偶可得出對每個虧格的顯式公式，而且這些公式現在已經通過模空間上的不動點方法的數學計算[8]驗證了。有趣的是，一切事情最后都歸結為純組合的公式。一方面弦論從擾動理論的 Feynman 圖產生，另一方面我們有聯系于退化代數曲線的組合數據Riemann 曲面和分析穿插在這兩個不同的組合圖解中，但是只有具備了充分的技巧才能夠做直接的計算。雖然如此，這一點還不是很有啟發性。

在這次會議中，Vafa 在他的演講 [10]中非常詳細地討論了拓撲理論的許多方面。欲知其詳，請參考他的文章。

從我的概述中可以清楚地看到，量子理論，在其現代形式下，對數學特別是幾何學具有深遠的意義。但是要把握這一切的真正重要性并預見其未來還很困難。

雖然物理可以給數學注入新的思想和技巧，但是它最終不能為數學提供基礎。即使有一天我們可以發展起一個嚴格的量子場論或弦論，
數學或者其大部分將以之作為支柱也是令人難以理解的。

一個歷史的觀察或許有助于我們得以窺見這方面的將來。Fourier 分析在18世紀從物理學特別是熱傳導的研究產生。但是它被及時地吸收到純數學理論中去，而且對線性分析接下來的發展是基本的。后來，到了20世紀，這個理論推廣到以群表示為中心的非交換情形。事實上，你可以說，非交換 Fourier 分析是20世紀數學的一個中心理論。

正如我早先提到的，量子場論和弦論的對偶，作為物理對幾何的一些最驚人的應用的根源，可以看成某種非線性的 Fourier 變換。在一些特殊的有限維情形，它們已經從數學上理解了，而且與積分幾何的經典思想相關。這包括 Penrose 變換，Mukai 變換，Nahm 變換，以及孤立子理論中的逆散射變換。事實上，孤立子是所有這些對偶中最突出的例子。然而，弦論（或 QFT）的一切對偶都是無窮維而且是非線性的。

這一切暗示了，21世紀數學一個突出主題或許是函數空間的非線性 Fourier 變換理論的一個羽翼豐滿的發展。當然，現存的非線性種類繁多以至于不可能以任何一種非平凡的方式囊括在某個單一的理論中。顯然，物理學看來要挑選出一種非線性使得一個深刻而且易于處理的對偶成立。這種非線性的主要特性看來是超對稱，它以某種方式推廣了群論中的對稱。用幾何的術語來說，這意味著我們處理的不只是李群的齊性空間，還有具有特殊同調的 Riemann 流形，如 K\"{a}hler 流形，Calabi-Yau 流形或者是 -流形。李群仍然出現，不過僅僅在（可積的）無窮小的層面上。這些思想其實跟 Lie 原來的思想相去不遠，他從有限維李群推進到（比如出現在復流形中的）無窮維結構。Lie 本人對他的基本思想沒有得到他的同時代人應有的贊賞很失望。20世紀矯正了這個忽略，或許21世紀將使之更進一步。

在前一節中，我試圖瞭望未來以看出從當前的幾何——物理相互影響中將會出現什么樣的數學。試圖預見物理學更加困難，而且我更不夠資格，然而或許一個局外人能夠提供一個不同的觀點。

我們知道，當前基礎物理學的圣杯是如何聯合 Einstein 的廣義相對論（GR）和量子力學（QM）。這兩個理論非常有效，但是作用的尺度完全不同，GR 作用在宇宙的距離下而 QM 作用在亞原子的尺度下。

聯合這兩個理論的難點既是概念性的也是技術性的。眾所周知，Einstein 有一個夢想，就是推廣 GR 的統一幾何理論，但是他從來沒有接受 QM 的哲學基礎和它的不確定性原理。在 Einstein 和 Bohr 的這個論戰的長期爭論中，物理學界的一般定論是，Einstein 輸了，而且他的統一場論的想法是沒有希望的白日夢。

包括電磁力、弱相互作用、強相互作用的基本粒子標準模型所取得的巨大成功，給 Einstein 的思想帶來了新生。但是其框架仍然是 QM 的框架，而 GR 仍舊停留在統一的范圍之外。現在，弦論提供了最終統一的希望，或許 Einstein 和 Bohr 之間的爭論將獲得解決，從而使榮譽能分配得更加均衡。統一是可能達到的，但是 QM 應該保留下來。

這是弦理論學家的正統觀點，而且他們有給人印象頗深的證據支持。唯一美中不足的是，最終的 -理論是什么，沒有一個人對此有任何真正的想法。或許這一點將會在接下來的幾年里取得進展，而且我們將學會與 維的神奇世界及其隱含的超對稱打交道。完成這個結構或許只留存在一些技術性的障礙。

但是至少值得去探索其它的想法。目前有兩個特別吸引人的思想，都有其信徒。首先（按照歷史順序）是 Roger Penrose 的扭量（twistor）理論。一方面，作為一個技術性的數學工具，它的價值已經在許多問題中得到了證明。扭量也與超對稱和對偶相關。但是更重要的另一方面是，在這些數學技巧的背后存在著一個更深刻的哲學思想。Penrose 是一個 Einstein 主義者，他認為，在 GR 和 QM 的聯姻中，后者必須放棄得多一些以適應 GR 的優美。扭量被認為是達到這個目標的第一步。而且 Penrose 推測，復數在 QM 中的神奇作用最終應該在 Minkowski 空間中光錐的自然復結構中有一個幾何源頭。到目前為止，不得不承認，證據并不支持 Penrose ，但那并不意味著他最終不會被支持。

另一個完全不同的想法是由 Alain Connes 的非交換幾何提供的，這是一個數學背景豐富并且大有前途的理論。它與物理的聯系已經存在并且新的聯系還在發現中。在某種意義下，Connes 的出發點是 Heisenberg 交換關系，一個完全不同于 Einstein 的方向。然而，為了保持幾何的精神，他盡量采用了同樣的概念和術語。-理論的最終形式將利用 Connes 的框架表述當然也是有可能的。

最后，或許我可以斗膽地作一些瘋狂的猜測——我期望至少不是與前面的其他想法完全無關。

我將回過頭去從提出一些哲學或形而上學的問題開始。假如我們最終得到了關于宇宙的一個協調一致的統一理論，需要極端復雜的數學，我們可以認為這代表了“現實”嗎？我們相信自然定律在于應用目前出現在弦論中的精心制作的代數機器嗎？又或者，自然定律實際上可能更加深刻、簡單而微妙，只是在我們所具備的數學工具下，我們所采用的數學描述就是最簡單的了？換言之，或許我們還沒有找到揭示自然的終極簡單性的恰當的語言或框架。

為了將我意思表達得更清楚，考慮描述引力的 GR。對數學家來說，這個理論是優美而樸素的，但是很微妙。而且，它是高度非線性的，因而在具體應用中就極其復雜。這就是它作為一個模型理論吸引 Einstein 和 Penrose 的原因所在。是不是有可能某些具有相同內在質樸性的東西能夠解釋自然的一切呢？

雖然每個人都可能會認為這只是一個理想的哲學抱負，因為存在著從 QM 提出的、看起來無法克服的障礙。為了實現這個抱負，將需要一些觀念上的飛躍，而在過去，這種飛躍僅在一個人準備放棄大眾已經接受的某些教條時才會出現，例如 Einstein 的狹義相對論就源于他放棄了時空分離的教條。

讓我以一個猜測的心態來提出一個可能要放棄的教條。從 Newton 開始，物理科學中的一個最重要的原則就是，我們能夠從現在（如果給出全部的知識）預見將來。這一點甚至在 QM 中也成立，那里零時刻的狀態通過一個 Hamilton 流演化以給出將來時刻的狀態。這個看起來有些大膽的假定已經充分地證實了它的價值。但是它果真成立嗎？或許我們能夠說的一切僅僅是，現在和過去的知識能夠使我們預見將來？畢竟，這一點在某種意義下，在生物學中是對的，在那里我們的 DNA 代表了我們的過去。

當然，為解釋這個經典教條的顯著成功，過去的影響將必須是微小的而且僅在一個相當小的時間尺度內可以觀察到。而這正是 QM 演出的舞臺。所以，或許 QM 中的不確定性原理正是反映了我們（觀察者）不知道我們的過去這一事實。或許現在這一時刻的 Hilbert 空間狀態由我們的過去決定。

這個哲學思想將必須用與 GR 相協調的精確數學形式具體表達。特別的，基本方程將不是微分方程而是積微（integrodifferential）方程，包括對過去的積分。GR 的非線性加上過去歷史的效應將使其數學處理變得非常困難。但是，利用那些出現在弦論中的高度精確的數學工具或許可以得到非常好的近似。多種多樣的對偶或許會出現在各種不同的近似方案中。

沿著這些線路的一個理論或許會使 Einstein 滿意，而且看起來值得我們去探索。所有數學物理學家的夢想是，找到一個最終詮釋，它不僅在數學形式上簡單樸素，而且能夠揭示自然界迷人的多樣性。我們應該堅持。