八年級數學下學期期中熱身預測卷

一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）

1．在中國有很多吉祥的圖案深受大家喜愛，人們會用這些圖案來裝飾生活，祈求平安．比如下列圖案分別表示“福”、“祿”、“壽”、“喜”，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的有（　　）

A．1個  B．2個  C．3個  D．4個

2．函數y=中自變量x的取值范圍是（　　）

A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2

3．一個凸多邊形的內角和等于540°，則這個多邊形的邊數是（　　）

A．5    B．6    C．7    D．8

4．象棋在中國有著三千多年的歷史，屬于二人對抗性游戲的一種．由于用具簡單，趣味性強，成為流行極為廣泛的棋藝活動．如圖是一方的棋盤，如果“帥”的坐標是（0，1），“卒”的坐標是（2，2），那么“馬”的坐標是（　　）

A．（﹣2，1）   B．（2，﹣2）   C．（﹣2，2）   D．（2，2）

5．正方形具有而矩形沒有的性質是（　　）

A．對角線互相平分   B．對邊相等

C．對角線相等   D．每條對角線平分一組對角

6．下列曲線中表示y是x的函數的是（　　）

A．  B．  C．  D．

7．順次聯結對角線相等的四邊形各邊中點所得到的四邊形是（　　）

A．平行四邊形   B．矩形 C．正方形   D．菱形

8．若?ABCD的頂點O、A、C的坐標分別是（0，0）、（5，0）、（2，3），則頂點B的坐標是（　　）

A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）

9．用一根長為30cm的繩子圍成一根長方形，則長方形的面積Scm²與xcm的函數關系式為S=﹣x²+15x，其中，自變量x的取值范圍是（　　）

A．x＞0 B．0＜x＜15 C．0＜x＜30 D．15＜x＜30

10．李阿姨每天早晨從家慢跑道小區公園，鍛煉一陣后，再慢跑回家．表示李阿姨離開家的距離y　（單位：米）與時間t　（單位：分）的函數關系的圖象大致如上圖所示，則李阿姨跑步的路線可能是（用P點表示李阿姨家的位置）（　　）

A．  B． C． D．

二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分）

11．在平面直角坐標系中，P（2，﹣3）關于x軸的對稱點是（　　，　　）

12．如圖，A，B兩點被池塘隔開，在A，B外選一點C，連接AC和BC，并分別找出AC和BC的中點M，N，如果測得MN=20m，那么A，B兩點間的距離是　　．

13．請你舉出一個函數實例（指出自變量的取值范圍）　　．

14．菱形的兩條對角線分別是6cm，8cm，則菱形的邊長為　　cm，面積為　　cm²．

15．平行四邊形ABCD中，∠ABC的角平分線BE將邊AD分成長度為5cm和6cm的兩部分，則平行四邊形ABCD的周長為　　cm．

16．在數學課上，老師提出如下問題：

已知：如圖1，線段AB、CB，求作：平行四邊形ABCD．

小明的作法如下：

如圖2：（1）以點C為圓心，AB長為半徑畫弧；

（2）以點A為圓心，BC長為半徑畫弧；

（3）兩弧在BC上方交于點D，連接AD，CD，四邊形ABCD為所求作平行四邊形

老師說：“小明的作法正確．”

請回答：四邊形ABCD是平行四邊形的依據是　　．

三、解答題（本大題共52分）

17．小紅星期天從家里出發騎車去舅舅家做客，當她騎了一段路時，想起要買個禮物送給表弟，于是又折回到剛經過的一家商店，買好禮物后又繼續騎車去舅舅家，以下是她本次去舅舅家所用的時間與路程的關系示意圖．根據圖中提供的信息回答下列問題：

（1）小紅家到舅舅家的路程是　　米，小紅在商店停留了　　分鐘；

（2）本次去舅舅家的行程中，小紅一共行駛了　　米；一共用了　　分鐘．

18．如圖，在?ABCD中，點E，F分別是邊AD，BC的中點，求證：AF=CE．

19．請按要求畫出函數y=x²的圖象：

（1）列表；

（2）描點；

（3）連線；

（4）請你判斷點（4，8）、（﹣，﹣）是否在函數圖象上，答：　　．

20．如圖，△ABC中，A、B、C三點的坐標分別為A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．

（1）將△ABC向右平移4個單位長度，畫出平移后的△A₁B₁C₁；

（2）畫出△ABC關于x軸對稱的△A₂B₂C₂；

（3）將△ABC繞點O旋轉180°，畫出旋轉后的△A₃B₃C₃．

21．已知，如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，DE、DF分別是△BDC、△ADC的角平分線．求證：四邊形DECF是矩形．

22．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是AB延長線上一點，BD=AB，E是AB的中點，求證：CE=CD．

23．已知，已知矩形紙片ABCD的邊長分別為acm和bcm，把頂點A和C疊合在一起，得折痕EF（如圖）．

（1）猜想四邊形AECF是菱形嗎？為什么？

（2）請寫出求折痕EF的長的解題思路．

24．在正方形ABCD中，點E是邊BC上的中點，在邊CD上取一點F，使得AE平分∠BAF．

（1）依題意補充圖形；

（2）小玲畫圖結束后，通過觀察、測量，提出猜想：線段AF等于線段BC與線段CF的和．小玲把這個猜想與同學們進行交流．通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：考慮到AE平分∠BAF，且∠B=90°．若過點E作EM⊥AF，則易證AM=AB=BC．這樣，只需證明FM=FC即可．因∠EMF=∠C=90°，證FM=FC即證EF平分∠MEC，所以連接EF．

想法2：考慮到E是BC中點，若延長AE，交DC的延長線于點G，則易證CG=AB，則CF+BC=CF+CG=FG．要證AF=BC+CF，只需證FA=FG即可．

想法3：小米在課外小組學習了梯形中位線的相關知識，考慮到正方形ABCD所以有BC=AB，因此BC+CF=AB+CF，是梯形上、下底之和，結合“E是BC中點”，易聯想到梯形中位線的性質，從而解決問題．

…

請你參考上面的想法，幫助小玲證明AF=BC+CF．（一種方法即可）

25．問題提出：如何將邊長為n（n≥5，且n為整數）的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形（a×b的矩形指邊長分別為a，b的矩形）？

問題探究：我們先從簡單的問題開始研究解決，再把復雜問題轉化為已解決的問題．

探究一：

如圖①，當n=5時，可將正方形分割為五個1×5的矩形．

如圖②，當n=6時，可將正方形分割為六個2×3的矩形．

如圖③，當n=7時，可將正方形分割為五個1×5的矩形和四個2×3的矩形

如圖④，當n=8時，可將正方形分割為八個1×5的矩形和四個2×3的矩形

如圖⑤，當n=9時，可將正方形分割為九個1×5的矩形和六個2×3的矩形

探究二：

當n=10，11，12，13，14時，分別將正方形按下列方式分割：

所以，當n=10，11，12，13，14時，均可將正方形分割為一個5×5的正方形、一個（n﹣5　）×（　n﹣5　）的正方形和兩個5×（n﹣5）的矩形．顯然，5×5的正方形和5×（n﹣5）的矩形均可分割為1×5的矩形，而（n﹣5）×（n﹣5）的正方形是邊長分別為5，6，7，8，9　的正方形，用探究一的方法可分割為一些1×5或2×3的矩形．

探究三：

當n=15，16，17，18，19時，分別將正方形按下列方式分割：

請按照上面的方法，分別畫出邊長為18，19的正方形分割示意圖．

所以，當n=15，16，17，18，19時，均可將正方形分割為一個10×10的正方形、一個（n﹣10　）×（n﹣10）的正方形和兩個10×（n﹣10）的矩形．顯然，10×10的正方形和10×（n﹣10）的矩形均可分割為1x5的矩形，而（n﹣10）×（n﹣10）的正方形又是邊長分別為5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割為一些1×5或2×3的矩形．

問題解決：如何將邊長為n（n≥5，且n為整數）的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形？請按照上面的方法畫出分割示意圖，并加以說明．

實際應用：如何將邊長為61的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形？（只需按照探究三的方法畫出分割示意圖即可）

參考答案與試題解析

一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）

1．在中國有很多吉祥的圖案深受大家喜愛，人們會用這些圖案來裝飾生活，祈求平安．比如下列圖案分別表示“福”、“祿”、“壽”、“喜”，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的有（　　）

A．1個  B．2個  C．3個  D．4個

【考點】R5：中心對稱圖形；P3：軸對稱圖形．

【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各圖形分析判斷即可得解．

【解答】解：第一個圖形既不是軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形；

第二個圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；

第三個圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；

第四個圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；

綜上所述，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的有2個．

故選B．

2．函數y=中自變量x的取值范圍是（　　）

A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2

【考點】E4：函數自變量的取值范圍．

【分析】因為當函數表達式是二次根式時，被開方數為非負數，所以2x﹣4≥0，可求x的范圍．

【解答】解：依題意有：

2x﹣4≥0，

解得x≥2．

故選：B．

3．一個凸多邊形的內角和等于540°，則這個多邊形的邊數是（　　）

A．5    B．6    C．7    D．8

【考點】L3：多邊形內角與外角．

【分析】n邊形的內角和公式為（n﹣2）180°，由此列方程求邊數n．

【解答】解：設這個多邊形的邊數為n，

則（n﹣2）180°=540°，

解得n=5，

故選A．

4．象棋在中國有著三千多年的歷史，屬于二人對抗性游戲的一種．由于用具簡單，趣味性強，成為流行極為廣泛的棋藝活動．如圖是一方的棋盤，如果“帥”的坐標是（0，1），“卒”的坐標是（2，2），那么“馬”的坐標是（　　）

A．（﹣2，1）   B．（2，﹣2）   C．（﹣2，2）   D．（2，2）

【考點】D3：坐標確定位置．

【分析】根據“帥”的坐標得出原點的位置，進而得出答案．

【解答】解：如圖所示：“馬”的坐標是：（﹣2，2）．

故選：C．

5．正方形具有而矩形沒有的性質是（　　）

A．對角線互相平分   B．對邊相等

C．對角線相等   D．每條對角線平分一組對角

【考點】LE：正方形的性質；LB：矩形的性質．

【分析】首先要知道正方形和矩形的性質，正方形是四邊相等的矩形，正方形對角線平分對角，且對角線互相垂直．

【解答】解：A、正方形和矩形對角線都互相平分，故A不符合題意；

B、正方形和矩形的對邊都相等，故B不符合題意；

C、正方形和矩形對角線都相等，故C不符合題意；

D、正方形對角線平分對角，而矩形對角線不平分對角，故D符合題意．

故選D．

6．下列曲線中表示y是x的函數的是（　　）

A．  B．  C．  D．

【考點】E2：函數的概念．

【分析】根據函數的定義可知，滿足對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應關系，據此即可確定函數的個數．

【解答】解：A，B，D的圖都是y有不唯一的值，故A，B，D不是函數，

C、滿足對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應關系，故C符合題意；

故選：C．

7．順次聯結對角線相等的四邊形各邊中點所得到的四邊形是（　　）

A．平行四邊形   B．矩形 C．正方形   D．菱形

【考點】LN：中點四邊形．

【分析】因為四邊形的兩條對角線相等，根據三角形的中位線定理，可得所得的四邊形的四邊相等，則所得的四邊形是菱形．

【解答】解：如圖，AC=BD，E、F、G、H分別是線段AB、BC、CD、AD的中點，

則EH、FG分別是△ABD、△BCD的中位線，EF、HG分別是△ACD、△ABC的中位線，

根據三角形的中位線的性質知，EH=FG=BD，EF=HG=AC，

∵AC=BD，

∴EH=FG=FG=EF，

∴四邊形EFGH是菱形．

故選D．

8．若?ABCD的頂點O、A、C的坐標分別是（0，0）、（5，0）、（2，3），則頂點B的坐標是（　　）

A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）

【考點】L5：平行四邊形的性質；D5：坐標與圖形性質．

【分析】平行四邊形的對邊相等，C點的橫坐標加上A點的橫坐標，等于B點的橫坐標，B點和C點的縱坐標相等，從而確定B點的坐標．

【解答】解：∵點O、A、C的坐標分別是（0，0）、（5，0）、（2，3），

∴C點的橫坐標是2，縱坐標為5+2=7，

∴B點的坐標為（7，3）．

故選C．

9．用一根長為30cm的繩子圍成一根長方形，則長方形的面積Scm²與xcm的函數關系式為S=﹣x²+15x，其中，自變量x的取值范圍是（　　）

A．x＞0 B．0＜x＜15 C．0＜x＜30 D．15＜x＜30

【考點】HD：根據實際問題列二次函數關系式．

【分析】直接根據題意表示出長方形的長與寬，進而結合長與寬都大于零，進而得出答案．

【解答】解：∵用一根長為30cm的繩子圍成一根長方形，長方形的面積Scm²與xcm的函數關系式為S=﹣x²+15x，

∴設長為x，則寬為：15﹣x，

∴15﹣x＞0，

解得：x＜15，

故自變量x的取值范圍是：0＜x＜15．

故選：B．

10．李阿姨每天早晨從家慢跑道小區公園，鍛煉一陣后，再慢跑回家．表示李阿姨離開家的距離y　（單位：米）與時間t　（單位：分）的函數關系的圖象大致如上圖所示，則李阿姨跑步的路線可能是（用P點表示李阿姨家的位置）（　　）

A．  B． C． D．

【考點】E6：函數的圖象．

【分析】根據觀察函數圖象，可發現路程變遠，路程不變，路程變近，可得答案．

【解答】解：由函數圖象的變化趨勢，得

路程變遠，路程不變，路程變近，故A符合題意；

故選：A．

二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分）

11．在平面直角坐標系中，P（2，﹣3）關于x軸的對稱點是（　2　，　3　）

【考點】P5：關于x軸、y軸對稱的點的坐標．

【分析】平面直角坐標系中任意一點P（x，y），關于x軸的對稱點的坐標是（x，﹣y），即關于橫軸的對稱點，橫坐標不變，縱坐標變成相反數，這樣就可以求出對稱點的坐標．

【解答】解：點P（2，﹣3）關于x軸的對稱點的坐標是（2，3），

故答案為：2，3．

12．如圖，A，B兩點被池塘隔開，在A，B外選一點C，連接AC和BC，并分別找出AC和BC的中點M，N，如果測得MN=20m，那么A，B兩點間的距離是　40m　．

【考點】KX：三角形中位線定理．

【分析】三角形的中位線等于第三邊的一半，那么第三邊應等于中位線長的2倍．

【解答】解：∵M，N分別是AC，BC的中點，

∴MN是△ABC的中位線，

∴MN=AB，

∴AB=2MN=2×20=40（m）．

故答案為：40m．

13．請你舉出一個函數實例（指出自變量的取值范圍）　y= （x≠0）　．

【考點】E4：函數自變量的取值范圍；E2：函數的概念．

【分析】根據分母不能為零，可得答案．

【解答】解：舉出一個函數實例（指出自變量的取值范圍） y=   （x≠0），

故答案為：y=  （x≠0）．

14．菱形的兩條對角線分別是6cm，8cm，則菱形的邊長為　5　cm，面積為　24　cm²．

【考點】L8：菱形的性質．

【分析】根據菱形的性質利用勾股定理可求得菱形的邊長，根據面積公式可求得菱形的面積．

【解答】解：菱形的兩條對角線分別是6cm，8cm，

得到兩條對角線相交所構成的直角三角形的兩直角邊是×6=3cm和×8=4cm，

那么它的斜邊即菱形的邊長=5cm，面積為6×8×=24cm²．

故答案為5，24．

15．平行四邊形ABCD中，∠ABC的角平分線BE將邊AD分成長度為5cm和6cm的兩部分，則平行四邊形ABCD的周長為　32或34　cm．

【考點】L5：平行四邊形的性質；K2：三角形的角平分線、中線和高；KI：等腰三角形的判定．

【分析】由平行四邊形ABCD推出∠AEB=∠CBE，由已知得到∠ABE=∠CBE，推出AB=AE，分兩種情況（1）當AE=5時，求出AB的長；（2）當AE=6時，求出AB的長，進一步求出平行四邊形的周長．

【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，

∴∠AEB=∠CBE，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE，

（1）當AE=5時，AB=5，

平行四邊形ABCD的周長是2×（5+5+6）=32；

（2）當AE=6時，AB=6，

平行四邊形ABCD的周長是2×（5+6+6）=34；

故答案為：32或34．

16．在數學課上，老師提出如下問題：

已知：如圖1，線段AB、CB，求作：平行四邊形ABCD．

小明的作法如下：

如圖2：（1）以點C為圓心，AB長為半徑畫弧；

（2）以點A為圓心，BC長為半徑畫弧；

（3）兩弧在BC上方交于點D，連接AD，CD，四邊形ABCD為所求作平行四邊形

老師說：“小明的作法正確．”

請回答：四邊形ABCD是平行四邊形的依據是　兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形　．

【考點】N3：作圖—復雜作圖；L6：平行四邊形的判定．

【分析】根據作圖的作法，由平行四邊形的判定即可求解．

【解答】解：由作法可知，四邊形ABCD是平行四邊形的依據是兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．

故答案為：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．

三、解答題（本大題共52分）

17．小紅星期天從家里出發騎車去舅舅家做客，當她騎了一段路時，想起要買個禮物送給表弟，于是又折回到剛經過的一家商店，買好禮物后又繼續騎車去舅舅家，以下是她本次去舅舅家所用的時間與路程的關系示意圖．根據圖中提供的信息回答下列問題：

（1）小紅家到舅舅家的路程是　1500　米，小紅在商店停留了　4　分鐘；

（2）本次去舅舅家的行程中，小紅一共行駛了　2700　米；一共用了　14　分鐘．

【考點】FH：一次函數的應用．

【分析】（1）觀察函數圖象，可知小紅家到舅舅家的路程是1500米，小紅在商店停留的時間為4分鐘，此題得解；

（2）將各路程段路程相加，即可求出本次去舅舅家的行程中，小紅一共行駛的路程，再根據函數圖象可找出小紅一共用的時間．

【解答】解：（1）∵路程的最大值為1500米，

∴小紅家到舅舅家的路程是1500米．

小紅在商店停留的時間為12﹣8=4（分鐘）．

故答案為：1500；4．

（2）本次去舅舅家的行程中，小紅一共行駛的路程為1200++=2700（米）．

∵時間的最大值為14，

∴本次去舅舅家的行程中，小紅一共用時14分鐘．

故答案為：2700；14．

18．如圖，在?ABCD中，點E，F分別是邊AD，BC的中點，求證：AF=CE．

【考點】L7：平行四邊形的判定與性質．

【分析】根據“平行四邊形ABCD的對邊平行且相等的性質”證得四邊形AECF為平行四邊形，然后由“平行四邊形的對邊相等”的性質證得結論．

【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD∥BC．

∵點E，F分別是邊AD，BC的中點，

∴AE=CF．

∴四邊形AECF是平行四邊形．

∴AF=CE．

19．請按要求畫出函數y=x²的圖象：

（1）列表；

（2）描點；

（3）連線；

（4）請你判斷點（4，8）、（﹣，﹣）是否在函數圖象上，答：　點（4，8）在函數圖象上，點（﹣，﹣）不在函數圖象上　．

【考點】H5：二次函數圖象上點的坐標特征；H2：二次函數的圖象．

【分析】找出當x=﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3時的y值，列出表格，描點、連線即可畫出二次函數y=x²的圖象；然后將點（4，8）、（﹣，﹣）代入函數的解析式，根據是否相等作出判斷．

【解答】解：（1）列表；

（2）描點；

（3）連線；

畫出函數圖象，如圖所示．

（4）當x=4時，y=8；

當x=﹣時，y=≠﹣．

答：點（4，8）在函數圖象上，點（﹣，﹣）不在函數圖象上．

20．如圖，△ABC中，A、B、C三點的坐標分別為A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．

（1）將△ABC向右平移4個單位長度，畫出平移后的△A₁B₁C₁；

（2）畫出△ABC關于x軸對稱的△A₂B₂C₂；

（3）將△ABC繞點O旋轉180°，畫出旋轉后的△A₃B₃C₃．

【考點】R8：作圖﹣旋轉變換；P7：作圖﹣軸對稱變換；Q4：作圖﹣平移變換．

【分析】（1）根據圖形平移的性質畫出平移后的△A₁B₁C₁即可；

（2）分別作出各點關于x軸的對稱點，再順次連接即可；

（3）根據圖形旋轉的性質畫出旋轉后的△A₃B₃C₃即可．

【解答】解：（1）如圖，△A₁B₁C₁即為所求；

（2）如圖，△A₂B₂C₂即為所求；

（3）如圖，△A₃B₃C₃即為所求．

21．已知，如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，DE、DF分別是△BDC、△ADC的角平分線．求證：四邊形DECF是矩形．

【考點】LC：矩形的判定．

【分析】利用等腰△ADC“三合一”的性質證得DF⊥AC，由平行線的判定知DF∥EC；同理，DE∥FC，所以四邊形DECF是平行四邊形．又有該四邊形的內角是直角，易證平行四邊形DECF是矩形．

【解答】證明：∵AD=CD，DF是∠ADC的角平分線，

∴DF⊥AC．

又∵BC⊥AC，

∴DF∥CE．

同理，DE∥FC，

∴四邊形FDEC是平行四邊形．

∵∠ACB=90°，

∴平行四邊形DECF是矩形．

22．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是AB延長線上一點，BD=AB，E是AB的中點，求證：CE=CD．

【考點】KD：全等三角形的判定與性質．

【分析】取AC中點F，連接EF，FB．首先證明△EBC≌△FCB，推出BF=CE，再證明BF=CD即可解決問題．

【解答】證明：取AC中點F，連接EF，FB．

∴FC=AC，

∵E是AB中點

∴BE=AB，

∵AB=AC

∴FC=BE

∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB

在△EBC和△FCB中，

，

∴△EBC≌△FCB．

∴BF=CE

∵BD=AB，F是AC中點

∴BF=CD，

∴CE=CD．

23．已知，已知矩形紙片ABCD的邊長分別為acm和bcm，把頂點A和C疊合在一起，得折痕EF（如圖）．

（1）猜想四邊形AECF是菱形嗎？為什么？

（2）請寫出求折痕EF的長的解題思路．

【考點】PB：翻折變換（折疊問題）；LA：菱形的判定與性質．

【分析】（1）折疊問題，即物體翻折后，翻折部分與原來的部分一樣，對應邊相等；

（2）求線段的長度，可在直角三角形中利用勾股定理求解，題中利用其面積相等進行求解，即菱形的面積等于底邊長乘以高，亦等于對角線乘積的一半．

【解答】解：（1）菱形，理由如下：

∵四邊形ABCD為矩形，

∴AB∥CD，

∠AFE=∠CEF．

∵矩形ABCD沿EF折疊，點A和C重合，

∴∠CEF=∠AEF，AE=CE

∴∠AFE=∠AEF，

∴AE=AF．

∴AF=CE，

又∵AF∥CE，

∴AECF為平行四邊形，

∵AE=EC，

即四邊形AECF的四邊相等．

∴四邊形AECF為菱形．

（2）①根據AB=acm，BC=bcm，由勾股定理得到AC²=（a²+b²）cm，AF=CF，

②在Rt△BCF中，設BF=xcm，則CF=（a﹣x）cm，

③由勾股定理可得（a﹣x）²=x²+b²，求得x，

④根據三角形的面積公式求得結論．

24．在正方形ABCD中，點E是邊BC上的中點，在邊CD上取一點F，使得AE平分∠BAF．

（1）依題意補充圖形；

（2）小玲畫圖結束后，通過觀察、測量，提出猜想：線段AF等于線段BC與線段CF的和．小玲把這個猜想與同學們進行交流．通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：考慮到AE平分∠BAF，且∠B=90°．若過點E作EM⊥AF，則易證AM=AB=BC．這樣，只需證明FM=FC即可．因∠EMF=∠C=90°，證FM=FC即證EF平分∠MEC，所以連接EF．

想法2：考慮到E是BC中點，若延長AE，交DC的延長線于點G，則易證CG=AB，則CF+BC=CF+CG=FG．要證AF=BC+CF，只需證FA=FG即可．

想法3：小米在課外小組學習了梯形中位線的相關知識，考慮到正方形ABCD所以有BC=AB，因此BC+CF=AB+CF，是梯形上、下底之和，結合“E是BC中點”，易聯想到梯形中位線的性質，從而解決問題．

…

請你參考上面的想法，幫助小玲證明AF=BC+CF．（一種方法即可）

【考點】LE：正方形的性質；KD：全等三角形的判定與性質；LL：梯形中位線定理；N3：作圖—復雜作圖．

【分析】（1）根據題意作出圖形即可；

（2）想法1：作EM⊥AF于M，連接EF，根據已知和正方形的性質分別證明Rt△ABE≌Rt△AMERt，Rt△EMF≌Rt△ECF，得出EM=BE，FM=FC，從而得出結論；

想法2：如圖3，延長AE、DC交于點G，根據全等三角形的性質得到AB=CG，∠1=∠G，由角平分線的性質得到∠1=∠2，等量代換得到∠2=∠G于是得到結論；

想法3：過中點E作EM∥AB，交AF于M．通過中位線的性質證明EM=（AB+CF），從而得出結論．

【解答】解：（1）補充圖形，如圖1所示；

想法1：如圖2，作EM⊥AF于M．

∵∠B=90°，

∴∠B=∠AME=90°，

∵∠1=∠2，

∴BE=EM，

在Rt△ABE與Rt△AME中，，

∴Rt△ABE≌Rt△AME．

∴AM=AB=BC，EM=BE．①

連接EF，E是BC中點，

∴EC=BE=EM

在Rt△AEMF與Rt△ECF中，

∴Rt△EMF≌Rt△ECF，

∴FM=FC、②

綜合①、②得AF=AM+MF=BC+CF．

想法2：如圖3，延長AE、DC交于點G，

∵E是BC中點，

∴BE=CE，

∵∠B=∠GCE，∠AEB=∠GEC，在△AEB與△GEC中，，

∴△AEB≌△GEC，

∴AB=CG，∠1=∠G，

∵AE平分∠BAF，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠G

∴AF=FG=FC+CG，

∴AF=BC+CF；

想法3：如圖4，過中點E作EM∥AB，交AF于M．則AM=MF，且∠1=∠2=∠3．

∴EM=AM=AF

∵EM=（AB+CF），

∴AF=AB+CF=BC+CF．

25．問題提出：如何將邊長為n（n≥5，且n為整數）的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形（a×b的矩形指邊長分別為a，b的矩形）？

問題探究：我們先從簡單的問題開始研究解決，再把復雜問題轉化為已解決的問題．

探究一：

如圖①，當n=5時，可將正方形分割為五個1×5的矩形．

如圖②，當n=6時，可將正方形分割為六個2×3的矩形．

如圖③，當n=7時，可將正方形分割為五個1×5的矩形和四個2×3的矩形

如圖④，當n=8時，可將正方形分割為八個1×5的矩形和四個2×3的矩形

如圖⑤，當n=9時，可將正方形分割為九個1×5的矩形和六個2×3的矩形

探究二：

當n=10，11，12，13，14時，分別將正方形按下列方式分割：

所以，當n=10，11，12，13，14時，均可將正方形分割為一個5×5的正方形、一個（n﹣5　）×（　n﹣5　）的正方形和兩個5×（n﹣5）的矩形．顯然，5×5的正方形和5×（n﹣5）的矩形均可分割為1×5的矩形，而（n﹣5）×（n﹣5）的正方形是邊長分別為5，6，7，8，9　的正方形，用探究一的方法可分割為一些1×5或2×3的矩形．

探究三：

當n=15，16，17，18，19時，分別將正方形按下列方式分割：

請按照上面的方法，分別畫出邊長為18，19的正方形分割示意圖．

所以，當n=15，16，17，18，19時，均可將正方形分割為一個10×10的正方形、一個（n﹣10　）×（n﹣10）的正方形和兩個10×（n﹣10）的矩形．顯然，10×10的正方形和10×（n﹣10）的矩形均可分割為1x5的矩形，而（n﹣10）×（n﹣10）的正方形又是邊長分別為5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割為一些1×5或2×3的矩形．

問題解決：如何將邊長為n（n≥5，且n為整數）的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形？請按照上面的方法畫出分割示意圖，并加以說明．

實際應用：如何將邊長為61的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形？（只需按照探究三的方法畫出分割示意圖即可）

【考點】LO：四邊形綜合題．

【分析】先從簡單的問題開始研究解決，再把復雜問題轉化為已解決的問題，由此把要解決問題轉化為已經解決的問題，即可解決問題．

【解答】解：探究三：邊長為18，19的正方形分割示意圖，如圖所示，

問題解決：若5≤n＜10時，如探究一．

若n≥10，設n=5a+b，其中a、b為正整數，5≤b＜10，則圖形如圖所示，

均可將正方形分割為一個5a×5a的正方形、一個b×b的正方形和兩個5a×b的矩形．顯然，5a×5a的正方形和5a×b的矩形均可分割為1x5的矩形，而b×b的正方形又是邊長分別為5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割為一些1×5或2×3的矩形即可．

問題解決：邊長為61的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形，如圖所示，

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