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線段最值問題是近幾年中考題的熱門，題目變化多、難度大，在實(shí)踐過程中，許多老師也總結(jié)了多種解題妙招，如：瓜豆原理、利用運(yùn)動變化構(gòu)造等等。這些方法著實(shí)精妙，然而也有著很多弊端，如：對學(xué)生思維層次要求高，不容易理解掌握；還有就是在解答題中有些方法不便于書寫表達(dá)。我想任何方法都要追尋到它的本源，任何題目也應(yīng)該能找到解決它的本源方法。 解決線段最值問題，離不開兩個(gè)本源知識：1.兩點(diǎn)之間線段最短；2.垂線段最短。 本文列舉幾例“天橋型”線段（所謂天橋型就是目標(biāo)線段橫跨另一條線段，在此予以簡稱）最值問題的本源解法，： 【題1】如圖，已知線段AB=12，點(diǎn)C在線段AB上，且△ACD是邊長為4的等邊三角形，以CD為邊在其右側(cè)作矩形CDEF，點(diǎn)G為DF中點(diǎn)，連接BG，求線段BG的最小值. 常見解法： （法1）網(wǎng)紅瓜豆原理： 顯然，當(dāng)BG與點(diǎn)G運(yùn)動軌跡垂直時(shí)取得最小值。 此法甚好，若能掌握，解決填空、選擇題不可謂不妙，但若是解答題，過程不好描述； （法2）構(gòu)造中位線 以上兩種方法對學(xué)生的思維層次要求非常高。 往往解決一些問題其實(shí)利用我們學(xué)的基本知識學(xué)生最容易理解和掌握，未必要舍近求遠(yuǎn)，下面介紹第三種方法： （法3）本源解法：拆兩半+斜大于直 是不是簡潔明了，耳目一新？ 【題2】（2019年泰安）如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB，則PB的最小值是_______. 常見解法： （法1）網(wǎng)紅瓜豆原理： 由瓜豆原理可知，點(diǎn)P的軌跡是線段MN，所以當(dāng)BP垂直于MN時(shí)，BP取得最小值，具體計(jì)算過程略。 （法2）構(gòu)造中位線
上面兩種構(gòu)造中位線均可以解決，計(jì)算可以利用構(gòu)造直角三角形，讀者自行嘗試，不再贅述. （法3）本源解法：拆兩半+斜大于直
以上兩題都可以追尋本源方法予以解決，下面再留給讀者一道思考題，用本源法試試看： 【題3】（蘇州2018年第18題）如圖，已知AB＝8，P為線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)，分別以AP，PB為邊在AB的同側(cè)作菱形ABCD和菱形PBFE．點(diǎn)P，C，E在一條直線上，∠DAP=60O，M、N分別是對角線AC、BE的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在段AB上移動時(shí)，點(diǎn)M、N之間的距離最短為_______．（結(jié)果保留根號）
由上面的例題不難看出，此法易懂、好操作，便于學(xué)生理解和掌握。當(dāng)然，此法也并非通法，只不過我們今后遇到這種“天橋型”線段最值問題時(shí)，我們可以將這種本源法作為一種重要的解題策略。 |
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