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紀宏偉——數學常規解法與模型解法之思:以排列組合中的典型問題為例

 昵稱47813312 2020-05-25

數學常規解法與模型解法之思*

——以排列組合中的典型問題為例

(江蘇省如皋高等師范學校 紀宏偉)

[摘要] 該文以排列組合中的分球入箱、裝錯信封、傳球問題、質點運動問題為典型案例,對比探討了數學常規解法和模型解法的不同特點,得到結論:兩者沒有絕對的優劣高低之分,在教學實踐中應辯證對待模型解法與常規解法的關系,重視兩種解法形態在解題中的作用,只有適合學生的解法才是最優化解法,只有適合學生的解題教學才是最優化解題教學。

[關鍵詞] 常規解法 模式解法 優化教學 排列組合數學

隨著課程改革的進展,數學解題教學中追求解法多樣化已成為一種普遍的解題教學取向,一題多解作為一種培養學生發散性思維的重要形式,已廣泛應用于數學教學。在一道題的多個解法中,往往包含著兩個解法形態,其中常規性解法采用的是具有普遍意義的技巧和具有代表性、典型性、一般性的方法,最能體現出思考過程的自然性;而所謂模型化解法,則是就題目所反映出的特征,對問題進行延伸、拓展、推廣,從而總結提煉出一般化、擴展化的解法,一般具有更廣的適用性。本文擬結合排列組合的四個典型問題,談談對這兩種解法的認識,分享數學經驗。

做題是對知識點的檢驗和應用的過程,也是積累做題技能的過程,學好數學,必須做題,做大量的題,這是沒有異 議的,正如華羅庚所說“學數學不做題,猶如入寶山而空返”。但是現實情況是,有不少同學花費了不少時間,做了很多的 題,解題能力還是一般,成績還是難以提高。分析原因,主 要是思維沒得到鍛煉,為了做題而做題,不能舉一反三,靈 活應變。實踐表明,學生做不出的題或者解答不完善的題, 一般都是那些知識點多、環環相扣、考查跨度大、綜合性強 的題。想要解決這個問題,就需要建立完整、系統的知識網 絡和體系,當知識點多的題目出現時,學生就可利用所構建 的知識系統進行搜索,找到所需要用到的知識點,理清它們 之間的內在聯系,從而找出解題思路[4]。一題多解正是幫助 構建學生知識網絡和知識系統,促使知識點之間融匯貫通的 有效方式。此外,教師多開展一題多解的教學活動,有利于 提高學生對問題本質的認識和理解,這是發展學生發散思維 和邏輯思維能力的好方法[5]。 

2.2 辯證對待模型解法與常規解法的關系

模型解法是對問題擴展之后形成的解法。這種解法把一類相同類型的題目的解法總結提煉,升華為理性的解題策略 和具有更廣適應性的套路,具有通法的特征。如例 1,我們 能看到它的巨大優勢。學生用該法解題,可以引導自己舉一 反三,迅速形成應對該題型的做題技能,從而達到只做少量 的題,就收到與大量做題相同甚至更好的效果。美國教師協 會編寫的《課程標準》對數學的定義是“數學是關于模式和秩 序的科學”,所以他們強調把問題模式化和秩序化,最終歸于 機械(計算機)化。模型解法可謂與這一定義主張一脈相承。但是也要看到,模型解法因為“模式化”的傾向和特征,在實 際中可能誘導學生養成只求“套用和模仿”的不好習慣,對于 那些盲目做題的學生而言,更容易使他們解題時局限于某框 框或固定在某模式之中,形成思維定勢或惰性,思維變得僵 化、單一、刻板、封閉。此外,模型解法對學生的知識結構 要求較高,例如例 2、3 中,雖有一般公式可“套”用,但其推 導的過程并非輕而易舉,需要用到其它的知識和演算技巧, 倘若學生對此不清楚、不理解,試問,他們還能深刻掌握并 靈活應用嗎?就像學習廣播體操,分解動作都沒有學會,能 把整套體操做下來嗎?何況,數學題型繁若星辰,模型解法 也不能“通吃天下”,如一劑萬靈仙丹。 
毫無疑問,常規解法是一種思考最自然、思維最樸實、 最直接的解法。它能反映問題的本質,觸及數學思想方法, 而且易于被學生理解消化、接受。實際上,大多學生解題時 首先還是想到常規方法。即便是一題多解的“多”解,也無不 是首先從常規解法開始。所以在教學中,教師宜首先加強常 規解法的訓練。特別是在學習的起始階段,更該如此。我們 很多學生學習很刻苦,幾乎在用一種螞蟻啃骨頭的精神在做 題,可是若把常規解法這個“根”丟了,解題能力的提升、成 績的提高將無從談起;而只有切實加強訓練,讓常規解法內 化在自己心靈,模型解法才有更好的應用價值和利用的空間, 其優越性才會最佳體現,才能在學習和考試中如虎添翼。2.3 適合學生的解法才是最優解法 無論是常規解法還是模型解法,都要貼近學生的實際, 滿足學生的需要,讓學生感到適宜。比如例 2,有的學生喜 歡直接列舉,因為在他們看來,用枚舉法做起來直觀、清楚, 一目了然,而且具有發現、探索上的優點[6]。雖然方法看似“笨”,但解決問題非常輕松,容易下手,這才是硬道理。而 有的同學喜歡建立模型直接用公式,這樣,這些以經典問題 為背景、原本很難的題目,就沒有難度了。
數學題目千變萬化,有些題用常規解法可能顯得不夠精致簡潔,或者思路不夠直接流暢,學生解起來可能力不從心,所以這時對學生來說,常規解法并非最理想,而用模型解法則可以得心應手,順利達到目的,自然是一種優化解法;反之,有些題目用模型解法,或背景深奧,或技巧奇妙,或過程花哨,顯得羅嗦、復雜,而常規解法反而簡潔明快,事半功倍,當然用常規解法更適合、更佳。就學生而論,由于生源不同,或由于能力傾向不同,認知結構不同、發展水平不同、興趣愛好不同、學習習慣不同,對常規解法還是模型解法,出現“蘿卜白菜,各有所愛”的情況是很正常的。例如,對于例3,調查發現大多數同學喜歡畫樹形圖,而對所謂的模型解法沒有興趣,例2 也是。而例1,幾乎所有人采用的都是模型解法——隔板法,對于畫樹形圖則沒有考慮,這說明針對該題型的模型解法,學生已經了然于心。模型解法在一些學生眼里可能被視作高招,他們對此有更多偏愛,但在有些學生那里就可能“水土不服”,不感興趣。同樣對于常規解法,有些同學通常會優先加以考慮。學生是學習的主體,不同的學生對于不同的題型及相應的解法,他們將表現出不同的適應性和態度情感傾向,他們會對比,體會,甄選,反思。因此只有適合他們的,才是最優的解法;只有適合學生的解題教學才是最優化解題教學。

(5)本公眾號對優秀作者和名師一般會附上“作者簡介”,以讓廣大讀者更好地了解作者的研究成果和方向,以便進一步學習作者的相關數學思想或解題方法。

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