公眾號“鄒生書數學”創建于2018年8月28日。 開號宗旨:為熱愛學習和研究的高中數學教師和教研員搭建學習交流平臺,提升教學能力,促進專業發展。本公眾號致力傳播數學文化,發表教研成果,交流教學經驗,探討數學問題,展示解題方法,分享教學資源,為服務高中教學作貢獻。 鄒生書,男,1962年12月出生,本科學歷,理學士學位,中學數學高級教師,黃石市高中數學骨干教師。主要從事高中數學教學、高中數學解題研究和探究性學習等。從2007年8月到2018年8月,在《數學通訊》《數學通報》《數學教學》《中學數學》《中學數學教學》等,二十多種學術期刊上發表解題和探究性學習文章300余篇。 公眾號“鄒生書數學”誠請高中數學教師、教研員和熱愛數學的朋友不吝賜稿。來稿請注明真實姓名、工作單位和聯系方式,一般只接受word文檔格式的電子稿件,文稿請認真審查,防止錯漏,確保無誤,文責自負。 投稿郵箱:zoushengshu@163.com; 商務聯系:13297228197。 定角定高三角形周長最小值試題的 幾個漂亮解法和一般性結論 四川成都鄭朋源 陜西渭南魏拴文 甘肅省蘭州市 王 冰 湖北陽新鄒生書 湖北省陽新縣高級中學 鄒生書編輯整理 1.問題的提出:三角形周長最小值問題 16.已知M,N是直線3x 4y-10=0上兩點,O為坐標原點,若∠MON=600,則?MON的周長的最小值為_____ 【說明】這是武漢市2020屆高中畢業生五月質量檢測理科數學第16題。 2.問題的轉化:定角定高三角形周長最小值問題 分析:顯然題目明擺著一個定角∠MON=600,另外,本題還隱藏著另一個定值——定高。由點到直線距離公式易知三角形的頂點O到對邊MN的距離為定值2,由此可見,這是一個解析幾何搭臺的平幾最值問題。這個問題就是經典的三角形定角定高三角形周長最小值問題,于是問題轉化為: 【題目】在?MON中,若∠MON=600,邊MN上的高OH=2,求?MON的周長的最小值。 3.問題的解決:三個漂亮解法 解法1:用余弦定理和均值不等式求解 鄭朋源提供 解法2:化折為直 巧作外接圓 用幾何法求解 魏拴文提供 如圖,在直線MN上截取MA=MO,NB=NO, 連接OA,OB.作?OAB的外接圓, 設圓心為D,半徑為r,連接DA,DB. 過點D作DE垂直AB于點E. 設點F是弦AB所對優弧上一點,連接FA,FB. 由MA=MO知∠OMN=2∠OAB, 同理∠ONM=2∠OBA, 所以∠OMN ∠ONM =2(∠OAB ∠OBA)=1200, 所以∠OAB ∠OBA=600,所以∠AOB=1200, 則∠AFB=600,從而∠ADB=1200,則∠ADE=600, 所以DE=0.5r. 因為OH⊥AB, DM⊥AB,所以OH DE≦OD, 即2 0.5r≦r,解得r≧4,所以AB=√3r≧4√3, 當點H與點M重合時等號成立, 此時OA=OB可得OM=ON時等號成立。 而AB=AM MN NB=OM MN ON, 故?MON的周長的最小值為4√3. 解法3:化折為直 正切函數 權方和不等式 甘肅省蘭州市 王 冰 提供 延長NM至A使MA=MO, 延長MN至B使NB=NO, 連接OA,OB. 過點O作直線MN的垂線,垂足為H, 由點到直線距離可得OH=2. 由MA=MO知∠OMN=2∠OAB, 同理∠ONM=2∠OBA, 所以∠OMN ∠ONM =2(∠OAB ∠OBA)=1200, 所以∠OAB ∠OBA=600, 設∠OAB=θ,則∠OBA=600-θ。 于是?MON的周長為 L=OM MN ON=AM MN NB=AB=AH HB 4.定角定高三角形周長最小值問題的一般性結論 【命題】在?MON中,∠MON=θ為定角,底邊MN上的高OH=h為定高,則當OM=ON時三角形周長最小. |
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