公眾號“鄒生書數學”創建于2018年8月28日。    

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鄒生書，男，1962年12月出生，本科學歷，理學士學位，中學數學高級教師，黃石市高中數學骨干教師。主要從事高中數學教學、高中數學解題研究和探究性學習等。從2007年8月到2018年8月，在《數學通訊》《數學通報》《數學教學》《中學數學》《中學數學教學》等，二十多種學術期刊上發表解題和探究性學習文章300余篇。

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定角定高三角形周長最小值試題的

 幾個漂亮解法和一般性結論

四川成都鄭朋源        陜西渭南魏拴文 

    甘肅省蘭州市    王   冰     湖北陽新鄒生書   

湖北省陽新縣高級中學        鄒生書編輯整理

1.問題的提出：三角形周長最小值問題

16.已知M,N是直線3x 4y-10=0上兩點，O為坐標原點，若∠MON=60⁰，則?MON的周長的最小值為＿＿＿＿＿

【說明】這是武漢市2020屆高中畢業生五月質量檢測理科數學第16題。

2.問題的轉化：定角定高三角形周長最小值問題

分析：顯然題目明擺著一個定角∠MON=60⁰，另外，本題還隱藏著另一個定值——定高。由點到直線距離公式易知三角形的頂點O到對邊MN的距離為定值2，由此可見，這是一個解析幾何搭臺的平幾最值問題。這個問題就是經典的三角形定角定高三角形周長最小值問題，于是問題轉化為：

【題目】在?MON中，若∠MON=60⁰，邊MN上的高OH=2,求?MON的周長的最小值。

3.問題的解決：三個漂亮解法

解法1：用余弦定理和均值不等式求解     

鄭朋源提供

解法2：化折為直 巧作外接圓   用幾何法求解  

 魏拴文提供

如圖，在直線MN上截取MA=MO,NB=NO，

連接OA,OB.作?OAB的外接圓，

設圓心為D,半徑為r,連接DA,DB.

過點D作DE垂直AB于點E.

設點F是弦AB所對優弧上一點，連接FA,FB.

由MA=MO知∠OMN=2∠OAB,

同理∠ONM=2∠OBA,

所以∠OMN ∠ONM =2(∠OAB ∠OBA)=120⁰，

所以∠OAB ∠OBA=60⁰，所以∠AOB=120⁰,

則∠AFB=60⁰，從而∠ADB=120⁰,則∠ADE=60⁰，

所以DE=0.5r.

因為OH⊥AB, DM⊥AB,所以OH DE≦OD,

即2 0.5r≦r,解得r≧4,所以AB=√3r≧4√3,

當點H與點M重合時等號成立，

此時OA=OB可得OM=ON時等號成立。

而AB=AM MN NB=OM MN ON,

故?MON的周長的最小值為4√3.

解法3：化折為直 正切函數 權方和不等式

甘肅省蘭州市    王   冰   提供

延長NM至A使MA=MO, 延長MN至B使NB=NO,

連接OA,OB. 過點O作直線MN的垂線，垂足為H,

由點到直線距離可得OH=2.

由MA=MO知∠OMN=2∠OAB,

同理∠ONM=2∠OBA,

所以∠OMN ∠ONM =2(∠OAB ∠OBA)=120⁰，

所以∠OAB ∠OBA=60⁰，

設∠OAB=θ，則∠OBA=60⁰-θ。

于是?MON的周長為

L=OM MN ON=AM MN NB=AB=AH HB

4.定角定高三角形周長最小值問題的一般性結論

【命題】在?MON中,∠MON=θ為定角,底邊MN上的高OH=h為定高,則當OM=ON時三角形周長最小.