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問題研究||定角定高三角形周長最小值試題的幾個漂亮解法和一般性結論

 陽光fe47tehoa7 2020-09-24

公眾號“鄒生書數學”創建于2018年8月28日。    

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鄒生書,男,1962年12月出生,本科學歷,理學士學位,中學數學高級教師,黃石市高中數學骨干教師。主要從事高中數學教學、高中數學解題研究和探究性學習等。從2007年8月到2018年8月,在《數學通訊》《數學通報》《數學教學》《中學數學》《中學數學教學》等,二十多種學術期刊上發表解題和探究性學習文章300余篇。


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定角定高三角形周長最小值試題的

 幾個漂亮解法和一般性結論

四川成都鄭朋源        陜西渭南魏拴文 

    甘肅省蘭州市    王   冰     湖北陽新鄒生書   

湖北省陽新縣高級中學        鄒生書編輯整理

1.問題的提出:三角形周長最小值問題

16.已知M,N是直線3x 4y-10=0上兩點,O為坐標原點,若∠MON=600,則?MON的周長的最小值為_____

【說明】這是武漢市2020屆高中畢業生五月質量檢測理科數學第16題。

2.問題的轉化:定角定高三角形周長最小值問題

分析:顯然題目明擺著一個定角∠MON=600,另外,本題還隱藏著另一個定值——定高。由點到直線距離公式易知三角形的頂點O到對邊MN的距離為定值2,由此可見,這是一個解析幾何搭臺的平幾最值問題。這個問題就是經典的三角形定角定高三角形周長最小值問題,于是問題轉化為:

【題目】?MON中,若MON=600,邊MN上的高OH=2,求?MON的周長的最小值。

3.問題的解決:三個漂亮解法

解法1:用余弦定理和均值不等式求解     

鄭朋源提供

解法2:化折為直 巧作外接圓   用幾何法求解  

 魏拴文提供

如圖,在直線MN上截取MA=MO,NB=NO,

連接OA,OB.作?OAB的外接圓,

設圓心為D,半徑為r,連接DA,DB.

過點D作DE垂直AB于點E.

設點F是弦AB所對優弧上一點,連接FA,FB.

由MA=MO知∠OMN=2∠OAB,

同理∠ONM=2∠OBA,

所以∠OMN ∠ONM =2(∠OAB ∠OBA)=1200

所以∠OAB ∠OBA=600,所以∠AOB=1200,

則∠AFB=600從而∠ADB=1200,則∠ADE=600

所以DE=0.5r.

因為OH⊥AB, DM⊥AB,所以OH DE≦OD,

即2 0.5r≦r,解得r≧4,所以AB=√3r≧4√3,

當點H與點M重合時等號成立,

此時OA=OB可得OM=ON時等號成立。

而AB=AM MN NB=OM MN ON,

故?MON的周長的最小值為4√3.

解法3:化折為直 正切函數 權方和不等式

甘肅省蘭州市    王   冰   提供

延長NM至A使MA=MO, 延長MN至B使NB=NO,

連接OA,OB. 過點O作直線MN的垂線,垂足為H,

由點到直線距離可得OH=2.

由MA=MO知∠OMN=2∠OAB,

同理∠ONM=2∠OBA,

所以∠OMN ∠ONM =2(∠OAB ∠OBA)=1200

所以∠OAB ∠OBA=600

設∠OAB=θ,則∠OBA=600-θ。

于是?MON的周長為

L=OM MN ON=AM MN NB=AB=AH HB

4.定角定高三角形周長最小值問題的一般性結論

【命題】?MON中,MON=θ為定角,底邊MN上的高OH=h為定高,則當OM=ON時三角形周長最小.

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