牛吃草問題是小學(xué)數(shù)學(xué)階段重點(diǎn)、難點(diǎn)之一

牛吃草含義:“牛吃草”問題是大科學(xué)家牛頓提出的問題，也叫“牛頓

問題”。這類問題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長(zhǎng)這個(gè)因素。

基本公式， 

(1)草的生長(zhǎng)速度=對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)-相應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較少天數(shù)÷(吃的較多天數(shù)-吃的較少天數(shù));

(2)原有草量=牛頭數(shù)×吃的天數(shù)-草的生長(zhǎng)速度×吃的天數(shù);`
(3)吃的天數(shù)=原有草量÷(牛頭數(shù)-草的生長(zhǎng)速度);
(4)牛頭數(shù)=原有草量÷吃的天數(shù)+草的生長(zhǎng)速度。

    這四個(gè)公式是解決牛頓問題的基礎(chǔ)。由于牛在吃草的過(guò)程中，草是不斷生長(zhǎng)的，所以解決消長(zhǎng)問題的重點(diǎn)是要想辦法從變化中找到不變量。

例1:   一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？

解: 分析草是均勻生長(zhǎng)的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量×天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說(shuō)5天內(nèi)的草總量要5天吃完的話，得有多少頭牛？

設(shè)每頭牛每天吃草量為按以下步驟解答：

  （1）求草每天的生長(zhǎng)量

因?yàn)椋环矫?0天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，

即（1×10×20）；

另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長(zhǎng)量，

所以1×10×20＝原有草量＋20天內(nèi)生長(zhǎng)量

  同理1×15×10＝原有草量＋10天內(nèi)生長(zhǎng)量

  由此可知（20——10）天內(nèi)草的生長(zhǎng)量為

  1×10×20——1×15×10＝50

  因此，草每天的生長(zhǎng)量為50÷（20——10）＝5

  （2）求原有草量

  原有草量＝10天內(nèi)總草量——10內(nèi)生長(zhǎng)量＝1×15×10——5×10   ＝100

  （3）求5天內(nèi)草總量

5天內(nèi)草總量＝原有草量＋5天內(nèi)生長(zhǎng)量＝100＋5×5＝125

（4）求多少頭牛5天吃完草

因?yàn)槊款^牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。

因此5天吃完草需要牛的頭數(shù)125÷5＝25（頭）

答：需要5頭牛5天可以把草吃完。

例2 : 一只船有一個(gè)漏洞，水以均勻速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果有12個(gè)人淘水，3小時(shí)可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時(shí)才能淘完。求17人幾小時(shí)可以淘完？

 解:這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數(shù)（相當(dāng)于“牛數(shù)”），求時(shí)間。設(shè)每人每小時(shí)淘水量為1，按以下步驟計(jì)算：

（1）求每小時(shí)進(jìn)水量

  因?yàn)椋?小時(shí)內(nèi)的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時(shí)進(jìn)水量

  10小時(shí)內(nèi)的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時(shí)進(jìn)水量

 所以（10——3）小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量為1×5×10——1×12×3＝14

  因此，每小時(shí)的進(jìn)水量為14÷（10——3）＝2

  （2）求淘水前原有水量

  原有水量＝1×12×3——3小時(shí)進(jìn)水量＝36——2×3＝30

  （3）求17人幾小時(shí)淘完

  17人每小時(shí)淘水量為17，因?yàn)槊啃r(shí)漏進(jìn)水為2，所以實(shí)際上船中每小時(shí)減少的水量為（17——2），所以17人淘完水的時(shí)間是

30÷（17——2）＝2（小時(shí)）

 答：17人2小時(shí)可以淘完水。

 例3： 牧場(chǎng)上有一片青草，每天都生長(zhǎng)得一樣快。這片青草供給10頭牛吃，可以吃22天，或者供給16頭牛吃，可以吃10天，如果供給25頭牛吃，可以吃幾天？ 

分析：解“牛吃草問題”，牛每天吃草，草每天在不斷均勻生長(zhǎng)。解題環(huán)節(jié)主要有四步： 

1、求出每天長(zhǎng)草量；
2、求出牧場(chǎng)原有草量；
3、求出每天實(shí)際消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生長(zhǎng)的草量= 消耗原有草量)；
4、最后求出可吃天數(shù)
想：這片草地天天以同樣的速度生長(zhǎng)是分析問題的難點(diǎn)。把10頭牛22天吃的總量與16頭牛10天吃的總量相比較，得到的10×22-16×10=60，是60頭牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5頭牛一天吃的草，也就是每天新長(zhǎng)出的草。求出了這個(gè)條件，把25頭牛分成兩部分來(lái)研究，用5頭吃掉新長(zhǎng)出的草，用20頭吃掉原有的草，即可求出25頭牛吃的天數(shù)。
解：新長(zhǎng)出的草供幾頭牛吃1天：
（10×22-16×1O）÷(22-1O）
=（220-160）÷12
=60÷12
=5（頭）
這片草供25頭牛吃的天數(shù)：
（10-5）×22÷（25-5）
=5×22÷20
=5.5（天）
答：供25頭牛可以吃5.5天。

例4： 一片草，每天勻速生長(zhǎng)，可供8只羊吃20天、14只羊吃10天。現(xiàn)有羊若干，吃了4天后有增加了6只羊，這樣又吃了2天，草便吃完了，問：羊有多少只？

解：設(shè)每只羊每天吃1份，

根據(jù)“8只羊吃20天，或供14只羊吃10天”

可以求出草每天生長(zhǎng)的份數(shù)列式為：

（8×20-14×10）÷（20-10）=2（份）；

再根據(jù)：“8只羊吃20天

可以求出草地原有的草量：

（8-2）×20=120（份）；

設(shè)現(xiàn)有x只羊，（12+4）×2+120=152份，

（152-4x）÷（x+6）=12，

設(shè)每只羊每天吃草1份，

則草每天生長(zhǎng)：

（8×20-14×10）÷（20-10）， =（160-140）÷10， =20÷10， =2（份）；

 原有的草量：（8-2）×20=120（份）；

設(shè)現(xiàn)有x只羊，由題意可得：

（12+4）×2+120=152（份） （152-4x）÷（x+6）=12，         

152-4x=12x+72   152-4x+4x-72=12x+72-72+4x        

   16x=80      

 16x÷16=80÷16           

  x=5

 答：原有羊5只

例5：天氣漸漸變冷，牧場(chǎng)上的草不僅不增長(zhǎng)反而以固定的速度減少。已知牧場(chǎng)上有一片草地，草地上的草可供給20頭牛吃5天，15頭牛吃6天，照這樣計(jì)算可供給多少頭牛吃10天？

解：分析：設(shè)一頭牛一天吃的草為1份。原有草量是固定的。在牛吃草的過(guò)程中，由于天氣變冷，草每天都均勻的減少。草每天減少的量是固定的。

那么原有草量-5天草的減少的量=20頭牛吃5天的草量=20×5=100份。

原有草量-6天草的減少量=15頭牛吃6天的草量=15×6=90份。

那么（100-90）÷（6天草的減少量-5天草的減少的量）就是草每天的減少量。

每天草的減少量：（100-90）÷（6-5）=10份。

原有草量：20×5+10×5=150（份）或者15×6+10×6=150（份）

牧場(chǎng)10天實(shí)際消耗的原有草量：10×10=100（份）

10天可供多少頭牛吃:（150-100）÷10=5（頭）

 答：可供給5頭牛吃10天