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不用泰勒公式如何證明歐拉公式

 bcbplc 2021-04-16

楊憶鴻   原創

  一、概述     

    歐拉發表于1748年的數學公式e^iX=cosX+isinX,將三角函數與復指數函數巧妙地關聯了起來。歐拉公式被稱為世界上最美的公式, 數學家稱它的恒等式e^iπ=-1是“上帝創造”的公式,我們只能看它而不能理解它, 詞條語。可以說歐拉公式將指數函數的定義域擴大到了復數域,建立了三角函數和指數函數的關系,被譽為“數學中的天橋”。

    歐拉公式的推導就是用泰勒展開公式,將y=e^(iX)、y=sinx、y=cosx用冪級數展開,即可得到e^iX=cosX+isinX,常人一般想不到,全世界僅有歐拉能想到,這就是他偉大的地方。但少數有高數功底的人對公式的證明有點不服,連我都覺得證明過程有點牽強不嚴密,虛數也能象實數一樣這么整嗎。 有沒有好的證明方法呢

    二、無需證明

   搜到百度民科貼吧的一個貼子,里面抱怨口氣的幾句話使我豁然開朗,這位不知名的吧主必是一個高數大神。貼首寫到,用泰勒展開證明歐拉公式完全是耍流氓,要展開首先得要(按數學規矩)定義復數的指數函數,而如果定義好了復指數函數,歐拉公式就已經成立了,就不需要證明了,再用泰勒展開公式來證明就是循環論證了。

   原來定義一個新類型數的公式或擴充數的范圍,就必須先有新運算符的定義。我們在初中學習過冪運算a^n,n只是整數,到了高中,根據a^n1/a^n2=a^(n1-n2)、a^n1.a^n2=a^(n1+n2)、(a^m)^n=a^mn, 推廣定義了a^0、a^負數、a^分數,一下子推廣到了冪為實數的情況,這就是數學定義的作用。再定義i^2=-1,又產生了虛數,把數學推廣到復數。這樣的例子太多,這就說明沒有數學定義,是不能把運算集擴大的。

如果我們連指數的復數冪是什么都沒有定義,擅談什么歐拉公式就象是空中樓閣。與其叫歐拉公式,還不如說它是“歐拉定義”。因為它是利用把泰勒展開公式推廣到虛數參數,定義了指數的虛數冪。為了數學的規律性,當然不可隨意定義,定義需要合理性:需把某個公式的參數范圍擴大化定義,泰勒展開公式就是這個虛數冪定義的工具。

三、推導

既然歐拉公式只是虛數冪 e^iX的首次定義式,那就無需證明,在新的數據域也無法證明。用通俗的話講,歐拉規定這個式子就是對的。他將泰勒公式擴充到虛數范圍才得到的,全世界都接受了這個天才般的定義。

下面就是e^iX=cosX+isinX這個偉大定義的推導過程,注意這并不叫證明喲:

四、驗證

      不需證明可以,除了泰勒公式方法推導外,究竟有沒有另一種驗證方法呢,至少得讓我們相信歐拉公式是對的吧。 百度上可搜到兩種方法:積分驗證法、導數驗證法,導數方法最簡單,但肯定少不了把復數函數類比成實數函數一樣。

      導數法是用一個函數f(x)=e^ix/(cosx+isinx), 它的函數值明顯恒為1。利用(u/v)'=(u'v-uv')/v^2,我們可求出此f(x)的導數式f'(x)=0,說明連續函數f(x)恒為常數,又f(0)=1, 說明f(x)=1。驗證過程并不難,這就不要再懷疑歐拉公式的合理性、正確性了。

    從推導到驗證都有了,就算是這個歐拉公式證明問題的終結吧。

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