楊憶鴻   原創

  一、概述     

    歐拉發表于1748年的數學公式e^iX=cosX+isinX，將三角函數與復指數函數巧妙地關聯了起來。歐拉公式被稱為世界上最美的公式， 數學家稱它的恒等式e^iπ=-1是“上帝創造”的公式，我們只能看它而不能理解它, 詞條語。可以說歐拉公式將指數函數的定義域擴大到了復數域，建立了三角函數和指數函數的關系，被譽為“數學中的天橋”。

    歐拉公式的推導就是用泰勒展開公式，將y=e^(iX)、y=sinx、y=cosx用冪級數展開，即可得到e^iX=cosX+isinX，常人一般想不到，全世界僅有歐拉能想到，這就是他偉大的地方。但少數有高數功底的人對公式的證明有點不服，連我都覺得證明過程有點牽強不嚴密，虛數也能象實數一樣這么整嗎。 有沒有好的證明方法呢

    二、無需證明

   搜到百度民科貼吧的一個貼子，里面抱怨口氣的幾句話使我豁然開朗，這位不知名的吧主必是一個高數大神。貼首寫到，用泰勒展開證明歐拉公式完全是耍流氓，要展開首先得要（按數學規矩）定義復數的指數函數，而如果定義好了復指數函數，歐拉公式就已經成立了，就不需要證明了，再用泰勒展開公式來證明就是循環論證了。

   原來定義一個新類型數的公式或擴充數的范圍，就必須先有新運算符的定義。我們在初中學習過冪運算a^n，n只是整數，到了高中，根據a^n1/a^n2=a^(n1-n2)、a^n1.a^n2=a^(n1+n2)、(a^m)^n=a^mn, 推廣定義了a^0、a^負數、a^分數，一下子推廣到了冪為實數的情況，這就是數學定義的作用。再定義i^2=-1，又產生了虛數，把數學推廣到復數。這樣的例子太多，這就說明沒有數學定義，是不能把運算集擴大的。

如果我們連指數的復數冪是什么都沒有定義，擅談什么歐拉公式就象是空中樓閣。與其叫歐拉公式，還不如說它是“歐拉定義”。因為它是利用把泰勒展開公式推廣到虛數參數，定義了指數的虛數冪。為了數學的規律性，當然不可隨意定義，定義需要合理性：需把某個公式的參數范圍擴大化定義，泰勒展開公式就是這個虛數冪定義的工具。

三、推導

既然歐拉公式只是虛數冪 e^iX的首次定義式，那就無需證明，在新的數據域也無法證明。用通俗的話講，歐拉規定這個式子就是對的。他將泰勒公式擴充到虛數范圍才得到的，全世界都接受了這個天才般的定義。

下面就是e^iX=cosX+isinX這個偉大定義的推導過程，注意這并不叫證明喲：

四、驗證

      不需證明可以，除了泰勒公式方法推導外，究竟有沒有另一種驗證方法呢，至少得讓我們相信歐拉公式是對的吧。 百度上可搜到兩種方法：積分驗證法、導數驗證法，導數方法最簡單，但肯定少不了把復數函數類比成實數函數一樣。

      導數法是用一個函數f(x)=e^ix/(cosx+isinx), 它的函數值明顯恒為1。利用(u/v)'=(u'v-uv')/v^2，我們可求出此f(x)的導數式f'(x)=0，說明連續函數f(x)恒為常數，又f(0)=1, 說明f(x)=1。驗證過程并不難，這就不要再懷疑歐拉公式的合理性、正確性了。

    從推導到驗證都有了，就算是這個歐拉公式證明問題的終結吧。