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?本文來回顧《電動力學》中的電勢的兩種多級展開以及電勢的球諧函數展開的相關內容 , 就當復習一波了 . 1. 多元函數的Taylor展開?多極展開的理論基礎其實就是性質充分良好的函數的Taylor展開, 一維的Taylor展開是我們熟知的: 不過在電動力學當中, 我們遇到的主要是標量值多元函數或者矢量值多元函數甚至于張量值多元函數. 這里我們處理的是電勢的多極展開, 因此只需要考慮第一種情況即可. ?我們熟知的還是一元函數的Talor級數, 因此最自然的想法還是用一元函數去研究多元函數. 所以我們希望找到一個一元函數, 使得在某種條件下給出的結果就是, 并且我們希望得到的是函數在點的一個鄰域內任意點處的值, 當然我們已知的是函數在處的性質. 這就要用到一個標準的技巧了: 考察和的凸組合, 這個組合恰好在處給出, 而在處給出, 表征的其實是和這兩點所連直線, 如果, 則就是這兩點所成線段(如果我們選取的是一個球形鄰域, 則球內任意一點與球心的連線上的點必然在鄰域內). 我們構造輔助函數如下: 于是 注意我們已知的是在處的性質, 因此我們應該將在處進行展開, 即 然后按照上面提到的, , 于是 于是我們只消計算的各階導數即可. 現在注意到我們有分量展開式 其中是方向的單位矢量. 令, 則 現在, 進而 注意到依舊是的函數, 于是我們接下來得到 以此類推, 最終得到 將上面的式子重新改寫一下, 令, 然后引入記號 則有 接下來在上式兩邊我們令, 此時 這是因為偏微分是對函數形式求的微分, 因此我們可以變更偏微分的求導對象, 然后保證變更前后的點一致即可, 變更前是, 即, 這就是. 綜上所述, 我們可以得到多元函數的Taylor展開式為 另外, 我們還可以注意到下面這個恒等式: 這是因為左邊對的所有組合形式求和的時候必然會出現重復項, 比如說且函數為元函數時就有, , 和四種可能, 而中間兩種因為函數性質良好(至少連續), 因此相等, 這就給出一個系數, 它其實就是二項式展開的結果. 其他情況以此類推. ?接下來注意到 因此我們還可以將多元函數的Taylor展開寫成 2. 電勢的多極展開? 眾所周知, 單個電荷在空間中處的電勢為 其中是電荷所在的空間位置, 即源點, 而稱作場點. 現在假設空間中電荷分布不是集中在一點, 而是彌散分布, 呈一定的電荷密度, 則我們總是可以在源點附近選取一小塊區域, 這塊區域的電荷量為, 它產生的電勢為 然后根據電勢疊加原理, 總的電勢就是上式的積分: 這里的積分遍歷有定義的地方, 或者說. 現在考察函數 令, 然后對 進行展開, 我們得到 現在取, 于是, 最終我們就有 現在將這個表達式代入到前面電勢的積分表達式當中, 就有 其中 現在注意積分是對進行的, 因此可以將所有關于的項提出到積分外邊去, 這就可以在級展開式 這個表達式中提取出這樣的一項: 考慮到數學中將形如 稱作在處的階矩, 上面提取出的表達式就表示一種電矩. 比如說電零階距就是 表示系統的總電荷, 由此可以看到電勢的零級展開即為 這表明零級展開的物理意義是將彌散在空間的電荷聚集到原點, 考察其作為點電荷產生的電勢. ?電二階矩根據上面的寫法就應該是 為了看出其物理含義, 我們簡化一下問題, 假設體系是電中性的, 換言之, 但是我們總是可以考察 這三個區域各自的積分結果(當然, 我們希望這三個區域都是可測的, 這要求的性質足夠良好, 比如說是可測函數), 根據定義, 上的積分恒等于零. 而利用積分中值定理, 存在使得 因為總電荷, 因此上面對的積分大小相等, 只是符號相反. 我們令上的積分結果為, 則上式最終給出的結果就是, 從而該體系的電二階矩為 記, 這表示一個由負電荷指向正電荷的方向矢量. 此時, 這正是電磁學中接觸到的電偶極矩, 換言之, 上面定義的電二階矩其實就是電偶極矩. 如果將等量異號的一對電荷稱作電偶極子, 則上面的計算表明一級展開的物理意義是將帶電體系分解出一個正電中心和一個負電中心, 考察這對電偶極子產生的電勢. 但是值得指出的是, 只有體系為電中性的時候這個詮釋才是對的, 當體系不具備電中性的時候, 我們令, 其中被定義為在上的積分, 然后 這里是電荷量絕對值大的那方相較于多出來部分(帶符號), 的正負號取決于對應的符號. 這個結果表明如果帶電體系不是電中性的時候電二階矩就會多出一項, 這項會和坐標原點的選取有關. 但是習慣上我們還是將此時的稱作電偶極矩, 盡管它沒法完全匹配電偶極子的這個圖像, 因為總是有些電荷沒法匹配上. ?電二階距從定義來看是一個型張量, 它的分量為 它的物理意義我們可以這樣進行理解, 將上式改寫為 這個改寫在數學上有很大問題, 但是具備啟發性, 因為括號里面的那一項可以理解為這個方向的某個偶極子的電偶極矩, 然后我們將一對電偶極子綁定在一起, 考察了不同的電偶極子之間的偶極作用, 于是我們就將其稱作電四極矩, 即偶極子的偶極矩. 兩對偶極子需要四個電荷, 這四個電荷就構成了電四極子. 以此類推, 電三階矩就是一對電四極子的偶極矩, 需要八個電荷, 構成電八極子, 對應電八極矩. 更一般的, 電階矩就是一對電極子產生的偶極矩, 即電極距. 電極距是一個型張量. ?綜上所述, 我們得到下述結論:
?一般而言, 物理上電四極子就已經可以給出充分好的近似了, 因此很少會用到更高級的近似(至少教科書上不會). ?容易看到, 當體系內電荷分布關于原點是對稱的時候, 正電中心和負電中心都會集中于原點, 從而不產生電偶極矩, 因此電偶極矩是電荷分布偏離原點對稱性的結果. 類似地, 如果體系內電荷分布是球對稱的, 那么在的表達式中我們只需注意到被積函數對各自指標是奇函數, 于是積分是零. 這表明電四極矩是電荷分布偏離球對稱性的結果. ?除此以外, 還有一點需要指出的是在計算積分 的時候, 我們或許應該對整個被積函數進行展開, 但是上面我們卻只是對進行了展開, 這或許是因為并不是一個實驗上容易測量的東西, 所以它的各階導數也很不好處理. 如果只是對展開, 從上面就能看到, 我們會將電荷分布封裝到一個系數當中, 于是可以通過實驗得到的電勢關于進行擬合, 從而得到這些系數, 這不會涉及不好測量的細節. 3. 電四極矩的性質以及重定義?首先從定義出發, 可以得到電四極矩張量是一個對稱張量, 即. 接下來我們對其進行重定義來讓其性質更好看一點. 考慮問題的出發點在于我們不希望發生變化, 換言之, 我們希望 是不變的, 其中 我們考察問題的出發點是一個恒等變換: 給一個式子加上零結果不變. 而零在哪里呢? 首先注意到恒等式 這里是一個標量值函數而是一個矢量值函數. 另外是另一個結論: 這是因為 于是. 然后我們用上面的恒等式來考察這個式子: 現在代入, 并注意到 于是我們最終看到 或者寫成 這樣一來我們可以在中加入這樣一個恒為零的項. 這個式子和的表達式已經很是相似了, 我們給加上上式的倍數不會改變原本的電勢的結果. 現在注意一下, 上面這個式子其實最終得到的就是這個張量算子的跡, 這提醒我們考察的跡, 而 我們不難注意到, 如果給上面的展開式乘以一個加到原本的表達式中, 就能得到. 不過考慮到的跡為, 更好的做法是將其歸一化一下變成, 即 這就引入了電四極矩的標準定義: 在這個定義下, 我們天然地得到 即是一個對稱無跡張量, 這也意味著只有5個獨立分量(因為對稱性有六個獨立分量, 無跡條件又消除一個自由度, 最終剩下五個). ?從原始定義到常規定義的過程一般教科書是略過的, 其實這里可以看到, 出現在電四極矩中的那個系數其實就是為了保證最終的結果是零跡的, 從而在不損失信息(電勢)的條件下給出最多的對稱性. 4. 電勢的球諧函數展開?在第二節中介紹的是電勢通過笛卡爾坐標進行展開, 但是我們理論上的展開方式不止這一種, 球坐標系也是常用的坐標系之一. 因此, 我們還有必要研究一下球坐標系下的多極展開形式. 毋庸置疑, 這會和球諧函數有關. 眾所周知, 電勢滿足Laplace方程: 這個方程一旦出現在球坐標系下就少不了球諧函數登場. 這里也順帶復習一下數學物理方程. 首先寫出Laplace算子的表達式: 然后設, 代入上式得到 然后等式兩邊同時乘以, 得到 現在分理出第一個變量, 上式第一項只是的函數, 而剩下兩項不含, 因此移項后相等意味著等于同一個數, 即 以及 第一個式子展開后即為 令, 則, 進而 將其代入前面的式子, 得到 這是一個二階常系數微分方程, 它的通解為 代入, 即有 這里是特征根, 滿足和. 于是可以取, 此時, , 于是 在的假設下, 原本的角向方程寫成 現在兩邊同時乘以得到 同樣的理由, 等式兩邊要想成立, 就必須等于同一個常數, 故有 它的解為. 最終剩下關于的方程 令, 則 于是上面的方程變成 利用恒等式, 上式變成 這是連帶勒讓德方程, 它的解是勒讓德多項式, 于是得到的解為 最終得到原本方程的通解為 這里是展開系數. 接下來取歸一化球諧函數 則上面電勢的通解可以寫成 這里系數進行了重新定義. 如果要求滿足一定的邊界條件, 比如, 那么電勢就要寫成 這里又一次重新設定了系數, 目的是和前面第二節的結果進行比照. 類似地, 如果, 那么電勢的形式應該為 這里我們只關心第一種形式, 即無窮遠處趨于零邊界下的結果, 這個時候我們看到項的系數為 而在第二節中我們看到多極展開后結果是的冪級數, 且對應的就是電極子, 比如說時是電單極子, 時是電偶極子, 時是電四極子. 對應一下我們就能看到, 項對應的其實就是電極子. 并且利用球諧函數我們能很容易理解電多極子的圖像:  比如的單極子就是一個電荷對稱分布的球, 的偶極子是正負電荷中心不重合導致的, 的電四極子就是兩個等量異號偶極子, blablabla ?不過按照上述思路得到的電勢多極展開的圖像沒有笛卡兒坐標系下的圖像清晰, 二者比較我們才能比較清楚地看出展開項的物理意義. 除了這種比較方式以外, 我們依舊可以從 著手進行計算. 此時我們還是對 進行展開. 不過此時是對它按照球諧函數進行展開, 這需要用到球諧函數的一個性質:
另外需要用到的一個特殊性質, 它是軸對稱的, 可以用勒讓德多項式進行展開: 然后代入上面定理的結果, 得到 然后代入電勢疊加表達式中并設, 得到 這里的系數稱作多極矩, 對于給定的, 有種選擇, 它其實就對應了第二節中給出的極子的獨立分量, 不過兩個獨立分量之間不是直接相等的, 而是以某種組合的形式給出. 最主要的是是可以取復值的, 而電極距張量為實張量. 5. 參考資料(1) 電動力學, by 郭碩鴻 (2) 經典電動力學, by John David Jackson (3) 電動力學導論 , by David J.Grimths 您的點贊與關注是我們堅持不懈的動力: |
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來自： taotao_2016 > 《物理》
