[概念 重難點 例題]

1、導數的定義  設函數在點的某個領域內有定義，當自變量在處有增量（仍在該鄰域內），函數相應地有增量，如果極限

存在，則稱函數在點處可導，并稱此極限值為函數在點的導數，記為

如果極限不存在，就稱函數在點不可導。

函數在點的左導數定義為

函數在點的右導數定義為

函數在點可導函數在點的左右導數存在且相等，即

2、導函數  如果函數在開區內的每一點都可導，則稱函數在開區間上可導。這時，對任意，都對應著的一個確定的導數值，這樣構成一個新的函數,  ，這個函數叫做原來函數的導函數，記作，實際上為在任一點處的導數，即，為導函數在點處的函數值，即。

如果在內可導，且及都存在，則稱在閉區間上可導。

3、可導與連續的關系：可導必連續，但連續不一定可導。即若函數在點可導函數在點連續，反之不一定。

4、導數的物理與幾何意義

（1）物理意義：位移函數在某一點處的瞬時變化率，若直線運動物體的位移為，則在時刻的瞬時速度（若在處可導）

（2）幾何意義：等于曲線在點處的切線的斜率，顯然該點的法線斜率為

              [概念 重難點 例題]

1、用定義求導可按以下三步進行

（1）求函數的增量

（2）求增量

（3）求極限

原則上說，運用定義求導數，適用于一切求導的問題。一般來說，對于求函數導數的存在性，求分段函數在分段點處及含絕對值函數的導數時，常用導數定義來求。

2、的求法

（1）用定義

（2）先求導函數，再代入，求的函數值即解。這是最常用的方法。

3、切線與法線方程的求法

由導數的幾何意義  曲線在點處的

切線方程  

法線方程  

              [概念 重難點 例題]

例1  設函數，求。

解：(1)求增量，令,

(2)求增量比 

(3)求極限  

所以

例2  設曲線，求過點處的切線方程與法線方程。

解：曲線，先求導函數

于是，點處的切線斜率為

切線方程    即

法線方程    即

例3  求，已知存在，且。

解  注意在導數定義式中，只是無窮小量，與它的具體形式無關，因此()，當（或）時的極限均為

通過“加項減項”把原式配成導數中所要求的形式，再用定義，得

原式

例4  設，其中是有界函數，問在處是否可導？

解：因為

,所以在處可導，且。