由雨滴下落運動聯想解答電學問題

在研究雨滴下落的問題時，我們建立如下的力學模型： 假定質量為的雨滴受到的空氣阻力,比例系數為,由靜止下落的雨滴將做變速運動。取雨滴剛要下落的瞬間為,為了研究速度與時間的函數關系,可以列出牛頓第二定律： ,即速度  總滿足微分式： 。

微分方程的求解

1. 分離變量
   將方程改寫為：
   
   兩邊積分：
   

2. 積分左邊
   令 ，則 ，積分變為：
   

3. 積分右邊
   

4. 聯立并化簡
   聯立兩邊積分結果：
   
   兩邊乘以 ：
   
   取指數函數：
   
   解得速度函數：
   

5. 代入初始條件
   假設  時 ，代入得：
   

6. 最終解
   

物理意義：

當  時，速度趨近于終端速度 。

對應的速度圖像為：

用類比的方法。在研究自感現象時，電動勢為 、內阻可忽略不計的直流電源與電阻為的小燈泡、自感線圈連成閉合回路，如圖甲所示。

取開關剛閉合的瞬間為,為了研究電路中的電流與時間的函數關系, 也可以根據自感電動勢滿足的規律列出下列方程：  。 這個方程與 形式類似，這說明函數與函數都遵循相似的數學規律。將這里的替代雨滴下落時方程中的,替換原來的,替換原來的,則該過程的的函數為

如圖乙所示。

取開關剛閉合的瞬間為,為了研究電路中的電流與時間的函數關系, 也可以根據自感電動勢滿足的規律列出下列方程：  。 將這里的替代雨滴下落時方程中的,替換原來的,替換原來的,則該過程的的函數為