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★加星zzllrr小樂公眾號數(shù)學(xué)科普不迷路！ 本文介紹了畫家雷格·阿爾康（Reg Alcorn）創(chuàng)作的一系列數(shù)百幅畫作（https://www. ）。自2017年以來，他一直致力于創(chuàng)作題為《過渡》Transitions的作品，他用來確定該系列繪畫結(jié)構(gòu)的兩個數(shù)學(xué)對象，一個是古代的，另一個是現(xiàn)代的，即特魯謝（Truchet）瓷磚和烏拉姆（Ulam）螺旋。
圖1. 《讓所有藍(lán)色歡欣鼓舞》，布面丙烯畫，120×120厘米，雷格·阿爾康（2019年） CC BY 4.0 本文為法譯英譯中，最初的原文為法文版，題為“Les mathématiques vues par un artiste: des objets mathématiques qui inspirent”，發(fā)表于《法國數(shù)學(xué)會公報》第181期（2024年7月）。
本文標(biāo)題與我們在同一期刊上發(fā)表的文章標(biāo)題相呼應(yīng)[19]，其中我們介紹了利摩日數(shù)學(xué)教育研究所IREM（Institute of Research on Mathematics Education）、藝術(shù)家雷格·阿爾康以及利穆贊創(chuàng)意科學(xué)基金會 （Limousin Récréasciences）科學(xué)技術(shù)和工業(yè)文化中心CCSTI（Center for Scientific, Technical and Industrial Culture）合作的一項倡議，旨在通過藝術(shù)媒介傳播數(shù)學(xué)文化：藝術(shù)史上的幾個時期被用來闡明和強調(diào)數(shù)學(xué)概念（古希臘和古羅馬時期與比例、阿拉伯-安達(dá)盧西亞中世紀(jì)與鋪砌藝術(shù)、文藝復(fù)興時期與透視法）。 雷格·阿爾康的藝術(shù)創(chuàng)作服務(wù)于這項倡議所探討的主題，他創(chuàng)作的畫作被用來解釋所涉及的藝術(shù)和數(shù)學(xué)概念。在《過渡》系列中，藝術(shù)家顛覆了視角：他從自己所研究的數(shù)學(xué)及其歷史中選取對象，并將它們用于個人藝術(shù)探索，最終創(chuàng)作出具有純粹藝術(shù)目的的獨特作品。（這就是為什么雷格·阿爾康被列為本文作者，這篇文章幾乎完全由第一作者撰寫，并且主要基于第二作者的藝術(shù)調(diào)查。） 這或許是雷格·阿爾康此前與利摩日IREM合作成果的體現(xiàn)，這些成果極大地豐富了參與者的數(shù)學(xué)（或科學(xué)）和藝術(shù)知識。藝術(shù)家沉浸于眾多（面向公眾、學(xué)生甚至研究人員的）數(shù)學(xué)作品之中，這激發(fā)了他對其中某些對象或概念的真正興趣。以至于在經(jīng)歷一段成熟期后，其中兩件來自截然不同時代和背景的藝術(shù)作品交織在了《過渡》系列繪畫之中。 我們將在接下來的兩個章節(jié)中依次描述它們，并借此機會探討一些數(shù)學(xué)或歷史方面，這些方面對于理解藝術(shù)家對它們的使用并非絕對必要，我們希望這些題外話能夠引起讀者的興趣。 我們不想假裝自己是歷史學(xué)家，也不想只停留在數(shù)學(xué)理論的表面，我們認(rèn)為通過它們的發(fā)現(xiàn)環(huán)境來呈現(xiàn)它們是一個好主意，這兩種情況都令人驚訝，以展示它們是如何被理解的，以及它們與18世紀(jì)初或今天的關(guān)鍵數(shù)學(xué)問題有何關(guān)聯(lián)。 最后，對于那些更關(guān)注藝術(shù)與數(shù)學(xué)之間聯(lián)系的人來說，第1、2章節(jié)開頭對這些對象的定義足以欣賞雷格·阿爾康的《過渡》系列繪畫的訣竅，我們將在第3和最后章節(jié)中交代。
我們將會看到，《過渡》系列中的第一個數(shù)學(xué)元素——特魯謝瓷磚，本身就處于科學(xué)與藝術(shù)的交匯點。它引領(lǐng)我們回到組合數(shù)學(xué)發(fā)展的一個重要里程碑——當(dāng)時，塞巴斯蒂安·特魯謝神父（Father Sébastien Truchet，1657 - 1729），數(shù)學(xué)家、印刷師、“鐘表匠、偉大的運河專家、無數(shù)機器（大炮、樹木移植機、日晷等）包括著名的馬利城堡的機械桌的發(fā)明者”[1]，對兩個正方形的不同相對位置產(chǎn)生了興趣，這兩個正方形都分為兩種顏色：給定兩個相同的正方形，沿對角線分成兩半，一半是白色，另一半是黑色（見圖2)，它們之間有多少種排列方式？
圖2. 特魯謝瓷磚 CC BY 4.0 特魯謝在1704年為皇家科學(xué)院撰寫的一篇論文中系統(tǒng)地討論了這個問題[18]。 組合學(xué)與鑲嵌 在闡述他的答案之前，我們先來了解一下，特魯謝的目標(biāo)是研究用這種瓷磚制作的裝飾性密鋪（他在論文中提出了一些選擇）。這確實是他本人在《回憶錄》[18，第363頁]的引言中給出的研究動機： 這項工作似乎偶然和好奇心發(fā)揮了重要作用，使他成為鑲嵌（有時也稱密鋪、平鋪、鋪砌，zzllrr小樂譯注）研究史上的先驅(qū)，在19世紀(jì)和晶體學(xué)發(fā)展之前，科學(xué)家們很少進(jìn)行鑲嵌研究（盡管約翰尼斯·開普勒（Johannes Kepler，德國天文學(xué)家，1571 - 1630）是該領(lǐng)域非常杰出的前輩[10]）。它也基于一項組合研究，他的貢獻(xiàn)在[16，第377頁]中有所描述，如下： 他的方法將組合學(xué)和鑲嵌學(xué)聯(lián)系在一起，其獨創(chuàng)性也得到了André和Girou的強調(diào)[3，第11頁]。 特魯謝的論文 他首先提出了64種組合方式，這些組合方式是通過考慮兩塊不同的瓷磚而獲得的：第一塊瓷磚有四種可能的方向，第二塊瓷磚也有，而且第二塊瓷磚可以靠在第一塊瓷磚的四個側(cè)邊的任意一邊上。如果我們不再區(qū)分這兩塊瓷磚，組合數(shù)量會立即減少到32種；如果我們忽略僅因旋轉(zhuǎn)而不同的瓷磚對，組合數(shù)量會進(jìn)一步簡化到10種。（參見[16，第384頁，注釋5]的討論）這些組合和化簡由[18]中的兩個表格說明，如圖3所示。
圖3. 特魯謝獲得的組合表[18] CC BY 4.0 圖源：gallica. / 法國國家圖書館 該論文[15]除了以各種方式（數(shù)學(xué)、游戲、教育）研究特魯謝瓷磚的傳承化之外，還正確地指出，四個物體中兩個物體可能重復(fù)的組合數(shù)等于10。這種等式對我們來說乍看似乎沒有意義：如果我們必須從四個正方形中選擇兩個可能重復(fù)的正方形來形成特魯謝考慮的圖案，并且我們可以將它們排成一條線，而不管成對旋轉(zhuǎn)與否，我們排列它們的順序就很重要（ab不會產(chǎn)生與ba相同的結(jié)果，不管成對旋轉(zhuǎn)與否），并且一些得到的圖案在旋轉(zhuǎn)后是相同的，例如ab和dc（a、b、c、d表示圖2中特魯謝瓷磚依次旋轉(zhuǎn)四分之一圈獲得的瓷磚，另見圖9）。 然而，這兩種效應(yīng)是互相抵消的：由 (x,y)?(y,x) 和 (x,y)?(r(y),r(x)) 定義的{a,b,c,d}2上的對合（involution），其中r是將a變?yōu)閏、將b變?yōu)閐的“半轉(zhuǎn)”，都有四個不動點和六對相關(guān)對，即它們有相同數(shù)量的軌道；然而，第一個對合對應(yīng)于可能重復(fù)的組合，而第二個對合對應(yīng)于兩塊瓷磚的圖案，而與成對旋轉(zhuǎn)無關(guān)。 [16]提出的組合問題的“圖形處理”也包括對可能配置的空間組織，這反映了特魯謝進(jìn)行的系統(tǒng)研究：在他的表I的每一列中（參見圖3中的表I），“第一塊”瓷磚的方向與第一行繪制的方向一致，而“第二塊”瓷磚的方向則隨行而變化；最后，四個相對位置出現(xiàn)在表格每個方框的四個角上。配置的排列表明初始搜索已完成，剩下的就是根據(jù)設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)找出相似的瓷磚（圖3中的表II和表III)。 作者補充說，他已經(jīng)開始研究三等分、四等分和五等分瓷磚的組合，但目前還不滿意，打算稍后發(fā)表（但目前看來并非如此）。當(dāng)然，復(fù)雜性會隨著瓷磚數(shù)量的增加而迅速增加，正如雷格·阿爾康的畫作所示，因為三塊、四塊或五塊瓷磚的空間排列方式多種多樣：成直線、成“L”形、成正方形、成“T”形、成十字形…… 最后，特魯謝展示了7塊密鋪圖案，這些圖案是通過連接他列出的64種密鋪組合而獲得的：它們包括24種大小為12×12的密鋪和6種大小為24×18的密鋪，這些密鋪是從100種已完成的密鋪中選出的，而這些密鋪本身也是從“數(shù)量太多，無法全部列出”的圖案中選出的[18，第364頁]。 另一位與特魯謝神父同屬一個宗教團(tuán)體的牧師多米尼克·杜阿特（Dominique Doüat）也從事了這項工作，并于1722年發(fā)表了一種制作無限多幅圖畫的方法[8]包含72塊用特魯謝的等分瓷磚制作的密鋪畫。我們在圖4中展示了他的其中一幅圖版。
圖4. 杜阿特神父制作的瓷磚[8] CC BY 4.0 來源：gallica. / 法國國家圖書館 來源 想獲得有關(guān)特魯謝的所有相關(guān)信息，Jacques André的網(wǎng)站（https:///faqtypo/truchet/ ）是一座無價的文獻(xiàn)和參考資料寶庫，此外還有他自己關(guān)于這個主題的出版物[1、3]他特別提到了可以參考特魯謝的論文[18]收錄于“法國薔薇”Gallica（法國國家圖書館數(shù)字圖書館項目的代稱，是可在網(wǎng)上訪問的最大的數(shù)字圖書館之一，zzllrr小樂譯注）文獻(xiàn)數(shù)據(jù)庫中（回憶錄前附有版畫），以及英文譯本[16]。Doüat 的作品[8]（André 提供，前面有豐富的介紹）和文章“Carreau（建筑）”[7]下文討論的狄德羅和達(dá)朗貝爾《百科全書》（Encyclopédie）中的一些內(nèi)容，也可以在Gallica網(wǎng)站上找到摹本。 所有這些文獻(xiàn)的參考書目中都提供了Gallica的鏈接。André還指出了ARTFL項目網(wǎng)站上《百科全書》的抄錄版本（https://encyclopedie. ），另請參閱《百科全書的協(xié)作與批判數(shù)字版》 édition Numérique Collaborative et CRitique de l'Encyclopédie，它結(jié)合了第一版的轉(zhuǎn)錄和摹本 （https://enccre./encyclopedie/ ）。 在Jacques André的網(wǎng)站上，還可以找到一份文件[2]展示了來自多個來源的特魯謝瓷磚插圖：
在《百科全書》中 狄德羅在《百科全書》的“建筑”（Carreau）一文中忠實地轉(zhuǎn)述了特魯謝論文的內(nèi)容[7]：他展示了通過區(qū)分兩個瓷磚得到的64種組合，以及我們之前描述的32種和10種組合的簡化方法。他接著補充了最終的（雙重）簡化方法，即通過顏色反轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)來識別相同的組合（翻轉(zhuǎn)的識別方法如下：“如果我們假設(shè)它們描繪在透明紙上，我們會透過紙張看到其中一些，就像我們在紙上看到其他組合一樣。”[7，第700頁]）。這樣就只剩下四類組合了。他得出的結(jié)論如下： 值得注意的是，狄德羅在研究結(jié)束時強調(diào)了當(dāng)時關(guān)于這一主題的知識空白，這些空白可以被視為科學(xué)界尚未解決的問題；同樣值得注意的是，藝術(shù)家雷吉·阿爾康巧妙地利用了這最后一個空白，他隨意調(diào)整畫布上正方形兩半的顏色，充分利用了他的藝術(shù)自由，并在那里找到了展現(xiàn)才華的領(lǐng)域。為了描述他如何排列這些正方形，我們將在稍后的第2章節(jié)介紹第二個更現(xiàn)代、更復(fù)雜的數(shù)學(xué)對象。 另一個組合枚舉 在此之前，我們先試著回答狄德羅的第一個問題，并說明如何用比特魯謝和狄德羅的逐次歸約法更快地得出四個最終組合。我們從兩個空方塊開始，不考慮旋轉(zhuǎn)，只有一種方法可以將它們并排組裝起來：
我們現(xiàn)在給每個正方形添加一條對角線：兩個正方形中的每個正方形都有兩種可能的選擇，所以有四種可能性；但是通過翻轉(zhuǎn)，它們兩兩相同，這給我們留下了兩種配置：
現(xiàn)在我們需要在每個方格中從兩個正方形中各取一半涂上顏色。同樣，在這兩種配置中，每個方格中一半的顏色都有兩種選擇，也就是說，每種配置都有四種可能性，加起來有八種可能性。但每種可能性都伴隨著一種顏色反轉(zhuǎn)的情況，所以如果我們通過反轉(zhuǎn)顏色來識別相同的組合，那么可能性的數(shù)量就會減半，從而得到以下四種組合：
結(jié)果指向另一個更直接的演示：允許旋轉(zhuǎn)，兩個圖塊可以排列成一條線，允許翻轉(zhuǎn)和顏色反轉(zhuǎn)，我們首先得到以下圖案。
剩下的就是從四個可能的主題中選擇第二個主題。
現(xiàn)在我們來談?wù)劦诙€數(shù)學(xué)要素。 無聊中的創(chuàng)造力 根據(jù)馬丁·加德納（Martin Gardner，美國數(shù)學(xué)科普作家，1914–2010）的說法，他在科普雜志《科學(xué)美國人》的一篇文章中講述了這個故事[11]，數(shù)學(xué)家斯坦尼斯拉夫·烏拉姆（Stanislaw Ulam，1909 - 1984）在1963年秋天參加一次會議時感到無聊，開始在一張紙上畫一個網(wǎng)格來表示棋盤；他改變主意，從網(wǎng)格中心開始按逆時針方向螺旋式編號交叉點；然后他開始圈出素數(shù)，令他大吃一驚的是，他看到沿對角線形成的線條（圖5）。
圖5. 烏拉姆螺旋 9×9 （素數(shù)被圈出）和 200×200 （素數(shù)用灰點表示，1用中心的黑點表示）。 CC BY 4.0 正如加德納指出的那樣，對于小螺旋來說，這個事實并不十分重要，因為屬于對角線方向的所有整數(shù)都具有相同的奇偶性，所有素數(shù)（除了2）為奇數(shù)，且素數(shù)密度在小整數(shù)中較高。因此，在圖5所示的9×9螺旋中，21個奇數(shù)素數(shù)分布在41個可能的位置上，形成與對角線平行的線…… 合并 然而，烏拉姆能夠與斯坦（M. L. Stein）和威爾斯（M. B. Wells）兩位合作者核實[17]，觀察到的現(xiàn)象并不局限于小整數(shù)，而似乎是素數(shù)的普遍性質(zhì)。為此，他們利用其研究機構(gòu)——加州大學(xué)洛斯阿拉莫斯實驗室的MANIAC II計算機以及包含素數(shù)表的磁帶，獲得了覆蓋更大數(shù)量的整數(shù)螺旋線（[11]中復(fù)制了10000和65000個整數(shù)獲得的螺旋線照片，它們類似于圖5右側(cè)的螺旋，但對應(yīng)于不同的尺度）。 這些意想不到的素數(shù)排列圖像可能令人印象深刻，以至于烏拉姆的螺旋線登上了加德納文章發(fā)表的《科學(xué)美國人》雜志頭版。烏拉姆和他的合作者解釋說，這些圖像是由于某些整數(shù)二次函數(shù)取大量素數(shù)而產(chǎn)生的，這些函數(shù)屬于 n?an2+bn+c 型，且 a,b,c∈?型，例如歐拉著名的公式 E(n)=n2+n+41 公式(1) 其中，所有0到39之間的n值都對應(yīng)不同的素數(shù)！且當(dāng)n大到10000000時，該公式取值為素數(shù)的占比47.5%[17，第520頁）。烏拉姆和他的同事已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了其他二次型，n從0到最大為10000000時，有高的素數(shù)占比τ，包括 4n2+170n+1847 (τ≈46.6%) 4n2+4n+59 (τ≈43.7%) 公式(2) 然而，文章的報道者指出，第一個公式中的整數(shù)值包含在歐拉公式（輸入偶數(shù)）產(chǎn)生的數(shù)列中： 4n2+170n+1847=E(2n+42) 在偶數(shù)情況下，在E(2n+42)當(dāng)n不超過10?的取值中，素數(shù)占比46.6%大致相當(dāng)于公式E當(dāng)n不超過10?時的取值的素數(shù)占比；相比之下，在奇數(shù)情況下，素數(shù)值比率必定為48.4%。我們尚不清楚奇數(shù)和偶數(shù)情況下素數(shù)比率之間的這種細(xì)微差異是否能夠得到漸近證實。下文將會看到，我們對多項式素數(shù)個數(shù)的漸近行為的認(rèn)識本質(zhì)上只是推測。 與半對角線平行的排列 通過觀察（圖5）很容易將自己定位在烏拉姆螺旋中。對于整數(shù)n，從1到(2n+1)2的一段螺旋線構(gòu)成一個正方形，每條邊包含2n+1個整數(shù)，以1為中心，右下角是數(shù)字(2n+1)2=4n2+4n+1 。我們立即推導(dǎo)出大小為2n+1的正方形其他角上的數(shù)字的表達(dá)式。它們構(gòu)成從1開始的四條半對角線，如圖6所示。 例如，東南（右下角）半對角線的數(shù)字是奇數(shù)的平方，形式為4n2+4n+1，因此在公式(2)中提到的第二個二次型的值(4n2+4n+1)+58，對于足夠大的n，將占據(jù)這個半對角線向上平移58的位置（我們按照烏拉姆的例子逆時針旋轉(zhuǎn)）。
圖6. 與半對角線平行的對齊 CC BY 4.0 類似地，東北（右上角）、西南（左下角）半對角線的數(shù)字是形式分別為4n2?2n+1、4n2+2n+1的整數(shù)，因此歐拉公式(1)的值在奇數(shù)、偶數(shù)時分別為E(2n?1)=(4n2?2n+1)+40、E(2n)=(4n2+2n+1)+40，當(dāng)n足夠大時，占據(jù)東北、西南半對角線分別向左、向右平移40的位置。 因此，我們在圖7中看到由二次型(1)和(2)產(chǎn)生的素數(shù)在與對角線平行的方向上排列，根據(jù)[17]在n不超過10?時的取值有許多素數(shù)。為了查明這種現(xiàn)象是否會在該值之后持續(xù)存在，當(dāng)螺旋的尺寸進(jìn)一步增加時，我們需要研究這些多項式的漸近行為。
圖7. 烏拉姆螺旋160×160，歐拉公式E(n)，n≤160 ：紅色（素數(shù)），藍(lán)色（其他值）；4n2+4n+59，n≤80 ：橙色（素數(shù)），綠色（其他值） CC BY 4.0 漸近行為 哈代（Hardy）和利特爾伍德（Littlewood）的“猜想F”（1923）預(yù)測了小于正實數(shù)x的自然數(shù)變量值數(shù)量的漸近行為，其中r個多項式的整數(shù)系數(shù)同時取素數(shù)，其形式為一個常數(shù)，取決于各個多項式乘以函數(shù) x/(lnx)?。參見[5]以了解一般情況下的更多細(xì)節(jié)。 在[13]中，Jacobson和Williams研究了推廣歐拉公式的二次多項式，形式為 fA(x)=x2+x+A， A∈?。用PA(n)表示fA在不大于n的自然數(shù)處所有取值中的素數(shù)個數(shù)，用Δ=1?4A表示fA的判別式，他們提出猜想F如下：
PA(n) ～ 2C(Δ)∫?? 1/ln fA(x) dx 公式(3) 其中，Hardy-Littlewood（哈代-利特爾伍德）常數(shù)C(Δ)由歐拉積定義：
C(Δ)= ∏_{p≥3} (1? (Δ/p)/(p?1)) 它是奇素數(shù)p的乘積，其中(Δ/p)表示Δ在p上的勒讓德符號。可以通過計算（通過分部積分）或使用[5]中給出的猜想公式來檢查。（注意，這里的常數(shù)是由所有素數(shù)的歐拉積定義的）等價于公式(3)也可以寫成 PA(n) ～ C(Δ)n/ln n 公式(4) 在這個猜想下，常數(shù)C(Δ)對fA取素數(shù)值的個數(shù)的漸近行為有決定性的影響。 數(shù)值結(jié)果支持猜想F。對于A=41，我們有C(?163)=3.3197732 ，歐拉多項式x2+x+41當(dāng)x從0到100時取值得到87%（這101個數(shù)中，實際上有86個素數(shù)，占比85.14%，zzllrr小樂譯注）的素數(shù)（使用公式(4)估計值: 72%），根據(jù)[17]當(dāng)x從0到3162=?10??時，取到47.5%的素數(shù)（估計值：41.2%）。我們從[13]得知的10?以內(nèi)的比率為22.08%（估計值：20.6%），并且對于 A′=3399714628553118047，我們有 C(?13598858514212472187)=5.3670819 并且10?以內(nèi)有25.17%的素數(shù)；即使這個比率低于估計值（33.3%），它也高于A=41的相應(yīng)比率，這似乎證實了這樣一個事實：較大的 Hardy-Littlewood常數(shù)漸近地對應(yīng)于較大的素數(shù)數(shù)量。 與上面考慮的整數(shù)A′相關(guān)的 C(Δ) 的值是[13]中提出的計算之前已知的最大值。預(yù)印版[4，§4.2]解釋了如何確定C(Δ)的高精度近似值，并給出了A=75、 C(?299)=0.3109767 的較小值的示例。Jacobson和Williams發(fā)現(xiàn)的C(Δ)的最大值是5.65726388（在廣義黎曼假設(shè)下），對應(yīng)于一個具有71位小數(shù)的數(shù)。 算術(shù)級數(shù)（等差數(shù)列） 在[5]中也可以看到，雖然一般猜想F得到了數(shù)值計算和篩法的支持，但它只能在一次多項式的情況下得到證明：然后歸結(jié)為狄利克雷算術(shù)級數(shù)定理（由德·拉瓦萊·普桑de La Vallée Poussin證明的定量版本），該定理指出，對于所有互質(zhì)（又稱互素，coprime）整數(shù)a,b，多項式ax+b取無窮多個素數(shù)值（均勻分布在模a的逆類別中）。更準(zhǔn)確地說，用Pa,b(n) 表示 ax+b 當(dāng)x從0到最大為n的自然數(shù)時所取值當(dāng)中的素數(shù)個數(shù)，我們有等價的
Pa,b(n)～ a/φ(a) n/ln n 其中φ是歐拉函數(shù)（Euler totient function）；這證實了等式(4)，并在此特定情況下指定哈代-利特爾伍德常數(shù)。這個一次結(jié)果也有一個圖形解釋：我們將整數(shù)寫在一個給定寬度的矩形網(wǎng)格中，從左上角開始逐行填充網(wǎng)格。這樣，n∈N 對應(yīng)的數(shù)字 an+b 就位于一條直線上（被網(wǎng)格切成幾段），因此相應(yīng)的素數(shù)值再次對齊。 在所有其他情況下，我們甚至無法證明猜想所預(yù)測的漸近行為的數(shù)字隨x趨向于無窮大。例如，兩個多項式 x 和 x+2 的整數(shù)值同時為素數(shù)是孿生素數(shù)，我們不知道它們是否有無限多對。 在1次多項式中，由于格林-陶哲軒定理[12]，我們知道得更多：算術(shù)級數(shù)（等差數(shù)列）不僅包含無限個素數(shù)，而且存在任意長度的素數(shù)算術(shù)級數(shù)：對于任意自然數(shù)k，都有素數(shù) p?、p?、…、pk 組成一個算術(shù)數(shù)列的連續(xù)項，即，差值p???-p?為常數(shù)。該定理的證明并非構(gòu)造性證明，而且找到這樣的數(shù)列也很困難，因為公差很可能非常大。（當(dāng)前記錄為k=27，由Gahan于2019年創(chuàng)造，請參閱 https:///A327760 ） 較小的變量值 一些作者研究了其他二次多項式的初始值，這些多項式的系數(shù)較小，且變量值也較小，因此更有可能解釋烏拉姆螺旋小尺度圖上顯示的線條。二次多項式： 36x2+18x?1801 公式(5) 保持著當(dāng)前連續(xù)不同素數(shù)數(shù)量的記錄：45（x值介于-33和11之間，由Ruby于1989年創(chuàng)造）；因此，它超越了歐拉多項式（目前已知的僅有另外兩個多項式符合這一記錄，由Fung 1988年得到的）。此外，它從變量的50個連續(xù)值中最終得到49個不同的素數(shù)，涉及在-41和-33之間的5個可能的起始位置。詳見[9]的引言和第2章節(jié)。 在那篇論文中，Dress和Olivier展示了他們對含有大量素數(shù)值的多項式進(jìn)行數(shù)值搜索的結(jié)果，他們只計算變量連續(xù) 50、100、500 或 1000 個值中對應(yīng)的“不同”的素數(shù)值。在后一種情況下，他們顯著改進(jìn)了之前使用多項式的結(jié)果。
請注意 36x2+18x?1801=E(6x+1)?1844 ，并且對于任何 A∈? ： x2+x+A=E(x)+A?41 4x2+2x+A=E(2x)+A?41 因此，我們剛才討論的多項式，就像歐拉公式一樣，只要變量的值足夠大，就能在烏拉姆螺旋線中產(chǎn)生與東北和/或西南半對角線平行的排列（對齊）。許多其他取大量素數(shù)值的多項式出現(xiàn)在[9]中，既不是這種形式，也不是烏拉姆及其合作者確定的公式(2）的第二種形式，包括2次的。關(guān)于烏拉姆螺旋中可能出現(xiàn)的排列的精確描述可以在[14]，以及顯示這些其他多項式的值分布的圖表（在螺旋纏繞平面中，如烏拉姆螺旋），例如圖8中找到。
圖8. Fung 多項式值 103n2+31n?3391 ( n≤1000 )（紅色為素數(shù)）。 CC BY 4.0
《過渡》系列的起源……源于對幾何的渴望！如同他之前的幾位藝術(shù)家一樣，雷格·阿爾康也在尋求一種幾何結(jié)構(gòu)來構(gòu)建他新系列的畫布。追隨這條道路的藝術(shù)家中，有些與數(shù)學(xué)息息相關(guān)，例如蒙德里安（1872 - 1944）、康定斯基（1866 - 1944）、瓦薩雷利（1906 - 1997）、莫雷萊（1926 - 2016），當(dāng)然還有畢加索（1881 - 1973）以及整個立體主義運動，他們致力于感知的分析和空間幾何化。 3.1 雷格·阿爾康的方法 對于他的系列繪畫作品《過渡》，這名藝術(shù)家開發(fā)了一個系統(tǒng)化的程序（盡管他偶爾會偏離這個方向，但在本系列的兩百幅畫作中）由上面提到的兩個數(shù)學(xué)要素決定：特魯謝瓷磚和烏拉姆螺旋。實際上，圖2中旋轉(zhuǎn)特魯謝瓷磚得到的四塊瓷磚，他添加了兩個：一個全白的正方形和一個全黑的正方形。為了方便起見，可以將它們編碼如圖9所示。
圖9. 擴展的特魯謝瓷磚 CC BY 4.0 然后，他選擇一些任意長度的瓷磚序列，例如daadb，并且不是如下圖所示的將其排列成一條線：
而是從畫作中心開始，以螺旋狀纏繞，重復(fù)相同的步驟，直到畫作被填滿。在我們的例子中，初始的步驟是：
即該序列的初始出現(xiàn)，然后是：
和
分別出現(xiàn)兩次、三次、四次和五次（得到一個完整的正方形）。圖10顯示序列出現(xiàn)20次的結(jié)果（即，100個圖塊形成一個10×10的正方形）。
圖10. 圖案 daadb 呈螺旋狀纏繞（重復(fù)20次） CC BY 4.0 我們立即意識到，我們實施的非常簡單的過程很快就會產(chǎn)生復(fù)雜且不可預(yù)測的模式，即使這些模式是由一開始選擇的序列決定的，并且高度依賴于序列的長度。例如，如圖11所示。長度為4的倍數(shù)的序列產(chǎn)生的圖案比上面選擇的長度為5的示例更規(guī)則，尤其是因為屬于該圖案任何半對角線的數(shù)字始終模4同余。 這意味著，在長度分別為4、8的序列產(chǎn)生的圖案的半對角線上，分別始終可以找到相同的或至少每隔一次出現(xiàn)一次的圖塊。值得注意的是，即使在這種情況下，反轉(zhuǎn)兩張圖塊也會產(chǎn)生截然不同的效果。
圖11. abck 、 abkc 和 aaawwwww CC BY 4.0 一個序列圖集正在準(zhǔn)備制作中，它有望展示這一過程令人難以置信的豐富性，補充藝術(shù)家創(chuàng)作的眾多畫布，下面給出了更多示例。 3.2 玩轉(zhuǎn)色彩 一旦選定了順序并確定了繪畫的配置，雷格·阿爾康的藝術(shù)就在于選擇顏色來取代已完成鋪砌所繪制區(qū)域的黑白色，突出了特定的主題，有時根據(jù)與觀看者的距離而顯示不同的主題（令人驚訝的是，他對特魯謝的瓷磚有著完全不同的看法， https:///A048670 還強調(diào)了根據(jù)與主題的距離或觀察規(guī)模的不同而產(chǎn)生的感知差異），激發(fā)了如圖12所示的畫作中令人驚嘆的視覺效果，其中復(fù)雜的色彩并置令人眼花繚亂，甚至在全屏觀看時，讓我們懷疑所看到內(nèi)容的真實性。
圖12. 畫作《金絲鳥》Golden Orbweaver，布面油畫，130×130厘米（2018年）；《拉格花園》Garden Raga，布面丙烯畫，130×130厘米（2019年）；《條紋斷裂》Stripe Break，布面丙烯畫，120×120厘米（2020年）——雷格·奧爾康 CC BY 4.0 色彩組合 基本規(guī)則是選擇兩種主色，例如紅色和綠色，它們彼此之間能夠很好地互補，并將其中一種顏色分配給鋪路石形成的白色區(qū)域，另一種分配給黑色區(qū)域。然而，在繪畫的世界里，事物并非全是黑白的，兩種顏色的不同組合可以在特定區(qū)域替換其中一種，這可以通過按不同比例混合或?qū)⒁环N顏色疊加來實現(xiàn)。至于選擇哪種變體，例如，可以根據(jù)出現(xiàn)的形狀以及藝術(shù)家是否希望強調(diào)這些形狀，或者僅僅根據(jù)畫作的色彩和諧性來決定。 然后，在緩慢而細(xì)致地填充各個區(qū)域的過程中，藝術(shù)家自由地發(fā)揮靈感，在這里引入第三種更暖的顏色，在那里引入一種更冷的顏色，隨著整體畫面在腦海中逐漸成型，藝術(shù)家會判斷是否需要拓寬調(diào)色板。最終，色彩并沒有真正的規(guī)則：鋪砌圖案的限制是一個框架，在這個框架內(nèi)，藝術(shù)家可以充分發(fā)揮選擇、排列和與色彩互動的自由。用他的話來說： 精準(zhǔn) 雷格·阿爾康長期以來一直擅長快速繪畫，他的筆觸將色彩融合成豐富、鮮艷的紋理，輪廓略顯模糊。然而，在《過渡》系列中，他采用了一種不同的繪畫方式：緩慢、精準(zhǔn)的作畫，輪廓分明。此前，他曾在受彭羅斯密鋪畫啟發(fā)的幾何圖案畫布上嘗試過這種繪畫方式。（參閱：小樂數(shù)學(xué)科普：2025年IDM3.14國際數(shù)學(xué)日海報出爐，設(shè)計基于彭羅斯密鋪，今年數(shù)學(xué)日主題——數(shù)學(xué)，藝術(shù)和創(chuàng)造力 ） 盡管畫布上的色彩輪廓分明，但要預(yù)測這些色彩在特魯謝瓷磚序列所營造的圖案中產(chǎn)生的效果，卻是一項挑戰(zhàn)，只有藝術(shù)家豐富的經(jīng)驗和對色彩的敏銳感知才能應(yīng)對。在某些情況下，當(dāng)眼睛與畫布保持合適的距離時，色彩在相互接觸時會產(chǎn)生“顫動”的效果，這會產(chǎn)生意想不到的效果。所有這些都是長期研究的成果，正如他所解釋的那樣： 顏料 需要注意的是，顏料的化學(xué)成分對這項工作非常重要：例如，紅綠色部分在視覺效果上表現(xiàn)出顯著的差異，這取決于用鎘紅與酞菁綠組合，還是氧化鐵紅與綠土組合。 據(jù)顏料制造商稱，實際上有十幾種頂級紅色顏料，它們由礦物、植物或合成顏料制成，在色相、透明度和不透明度方面各有不同。它們的質(zhì)感取決于顏料的稠度、所用的添加劑和工具、畫布的質(zhì)地及其著色前的準(zhǔn)備工作。 我們以兩種顏色為例：淺色鎘紅，一種不透明、鮮艷且具有強烈視覺沖擊力的顏色；以及透明、深色茜素深紅，一種略帶紫紅色的紅色。它們的并置增強了各自的特性，而它們的疊加則改變了兩種顏色的色彩。 《過渡》系列的畫作引領(lǐng)我們探索色彩的視角，營造出色彩遠(yuǎn)近錯落的錯覺。創(chuàng)作這些畫作時，我踏上了一段激動人心的旅程，探索色彩的魔力和多種組合，卻不執(zhí)著于單一的代表性。這正是《過渡》系列的核心所在。 3.3 變體 我們所描述的確定繪畫主題的規(guī)則，即選擇纏繞成螺旋狀的特魯謝瓷磚序列，在創(chuàng)作的眾多油畫作品中也出現(xiàn)了例外，甚至有違背。這些規(guī)則往往被證明是明智的，并能豐富新的視角。 例如，有些畫作是由從不同焦點開始的幾個螺旋構(gòu)成的，這可以給人一種更寫實的畫作印象：有了五個焦點，人們幾乎本能地會想到自然環(huán)境中或多或少對稱的五角形狀，就像一個有頭、兩只胳膊和兩條腿的剪影，除非畫家選擇的顏色使其顯現(xiàn)，否則繪畫過程會使其變得模糊。 在其他畫作中，特魯謝瓷磚被“畢達(dá)哥拉斯式”矩形所取代，這些矩形沿對角線切割成兩個邊長為3、4、5的三角形，并以與以前相同的方式纏繞成螺旋狀。 首先，畫布不再一定是正方形，而以前在結(jié)構(gòu)上幾乎總是正方形；其次，界定螺旋的線條與整體主題的融合度降低，更多地展現(xiàn)了繪畫的結(jié)構(gòu)。最后，拉長的三角形產(chǎn)生了比特魯謝瓷磚更平滑、更流暢的形狀。 當(dāng)然，藝術(shù)家也嘗試將“希臘”瓷磚與特魯謝的瓷磚混合使用，甚至將正方形沿對角線切割成四個三角形——有無數(shù)的組合可能性……圖13顯示了一個例子。
圖13. 雪階，布面油畫，120×120厘米，雷格·阿爾康 (2023年) CC BY 4.0 3.4 從如此簡單的開始 雷格·阿爾康的創(chuàng)作手法令人驚嘆，盡管極其簡單，卻能創(chuàng)造出極其豐富復(fù)雜的圖案。音樂是另一個經(jīng)常運用這一原理的藝術(shù)領(lǐng)域。 電子音樂家Grand Ciel對此進(jìn)行了實驗，特別是將不同長度的非常簡單的聲音循環(huán)（例如，三拍、四拍和五拍）混合在一起。這場演出由利摩日IREM（數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)研究所）為2019年科學(xué)節(jié)組織，在利摩日國立阿德里安·杜布謝博物館舉行，作為“數(shù)學(xué)年”的一部分。 這場名為“從如此簡單的開始”的演出試圖將這一原則戲劇化，畫家和音樂家共同即興創(chuàng)作了現(xiàn)場表演，隨后由第一作者及其同事 Olivier Prot 進(jìn)行了兩部分的講座，介紹了這一主題、烏拉姆螺旋和雷格·阿爾康的方法。 在第二次更長的表演中，我們還提出了一個數(shù)學(xué)問題的例子，其中復(fù)雜性意外地出現(xiàn)在一個易于陳述的問題中，在本例中是關(guān)于n的Jacobsthal函數(shù)，兩個相鄰的與n互素的整數(shù)之間的最大差（間隔），并且當(dāng)應(yīng)用于素數(shù)時，只知道大約60項（ https:///A048670 ）。一開始是 2,4,6,10,14,22,26,34, 接下來的不是38而是40！ 該節(jié)目的標(biāo)題引用了查爾斯·達(dá)爾文的話[6]，以反映出上述特征不僅適用于藝術(shù)或數(shù)學(xué)，而且是生命進(jìn)化所固有的特征：
作者非常感謝本文的匿名審稿人的仔細(xì)閱讀和許多有益的建議。還感謝Jean-Bernard Bru和Miriam Gellrich Pedra負(fù)責(zé)將原文翻譯成英文。特別感謝巴斯克應(yīng)用數(shù)學(xué)中心資助將法文翻譯成英文。EMS雜志感謝法國數(shù)學(xué)會公報授權(quán)轉(zhuǎn)載這篇題為“藝術(shù)家眼中的數(shù)學(xué)：激發(fā)靈感的數(shù)學(xué)對象”的論文的英文譯本，該論文發(fā)表于《法國數(shù)學(xué)會公報》第181期（2024年7月）。
Stéphane Vinatier（斯蒂芬·維納蒂爾）是法國利摩日大學(xué)的數(shù)學(xué)教授。他的研究工作在XLIM研究所（UMR CNRS 7252）進(jìn)行。他專攻代數(shù)數(shù)論，重點研究特定分支條件下數(shù)域擴張中不變量的伽羅瓦作用。他也對其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域感興趣，例如組合數(shù)學(xué)。他為法國數(shù)學(xué)教育研究機構(gòu)網(wǎng)絡(luò)做出了貢獻(xiàn)，并擔(dān)任該網(wǎng)絡(luò)負(fù)責(zé)人兩年。他目前仍在從事實驗性教育項目。 William Reginald Alcorn（威廉·雷金納德·阿爾康），1950年出生于贊比亞，父母分別是愛爾蘭人和蘇格蘭人。他從小就對繪畫產(chǎn)生了濃厚的興趣。在英國學(xué)習(xí)人文學(xué)科后，他游歷歐洲，最終定居法國。他從事過音樂、語言、科學(xué)以及最近的數(shù)學(xué)等項目，并將時間分配在繪畫工作室和藝術(shù)推廣上，尤其是在利摩日IREM（數(shù)學(xué)教育研究所）的活動中。
https:///magazine/articles/248 https://www. https:///faqtypo/truchet/ https://encyclopedie. https://enccre./encyclopedie/ https:///A327760 https:///A048670 小樂數(shù)學(xué)科普：格拉納達(dá)阿爾罕布拉宮數(shù)學(xué)入門——譯自EMS Magazine歐洲數(shù)學(xué)會雜志 小樂數(shù)學(xué)科普：密鋪的深層數(shù)學(xué)——來自量子雜志資深數(shù)學(xué)作家Jordana Cepelewicz的講解 小樂數(shù)學(xué)科普：棘手?jǐn)?shù)學(xué)密鋪之簡史——譯自量子雜志Quanta Magazine J. André, De Pacioli à Truchet: trois siècles de géométrie pour les caractères. In 4000 ans d’histoire des mathématiques: les mathématiques dans la longue durée. IREM de Rennes, Rennes, France (2002) https://bibnum./IWH/IWH02004.pdf J. André, Les planches de pavages de Truchet. (2010)https:///faqtypo/truchet/truchet-planches.pdf J. André and D. Girou, Father Truchet, the typographic point, the Romain du roi, and tilings. TUGboat 20, 8–14 (1999)https://www./TUGboat/Articles/tb20-1/tb62andr.pdf H. Cohen, High precision computations of Hardy–Littlewood constants. Preprint, (1998) https:///A221712/a221712.pdf K. Conrad, Hardy–Littlewood constants. In Mathematical properties of sequences and other combinatorial structures (Los Angeles, CA, 2002), pp. 133–154, Kluwer Acad. Publ., Boston, MA (2003) C. Darwin, On the origin of species by means of natural selection, or the preservation of favoured races in the struggle for life. John Murray, London (1859) D. Diderot, Carreau s. m. (Architecture). In Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers. Vol. II., pp. 699–701, Briasson, Paris (1752) https://gallica./ark:/12148/bpt6k50534p/f705 D. Doüat, Méthode pour faire une infinité de desseins différens, avec des carreaux mi-partis de deux couleurs par une ligne diagonale. Jacques Quillau, Imprimeur Juré de l’Université, Paris (1722) https://gallica./ark:/12148/bpt6k5823204r F. Dress and M. Olivier, Polyn?mes prenant des valeurs premières. Experiment. Math. 8, 319–338 (1999) P. Esperet and D. Girou, Coloriage du pavage dit 'de Truchet.’ Cahiers GUTenberg 31, 5–18 (1998) http://www./item/CG_1998___31_5_0/ M. Gardner, Mathematical games: The remarkable lore of the prime numbers. Scientific American 210.3 120–130 (1964) B. Green and T. Tao, The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions. Ann. of Math. (2) 167, 481–547 (2008) M. J. Jacobson, Jr. and H. C. Williams, New quadratic polynomials with high densities of prime values. Math. Comp. 72, 499–519 (2003) S. Marquès and S. Vinatier, Alignments in Ulam’s spiral. (Work in progress) (2025) L. Rougetet and M. Boutin, Jeu de parquet et combinaisons, ou la double patrimonialisation d’un objet et de ses savoirs mathématiques. Philos. Sci. (Paris) 26, 91–121 (2022) C. S. Smith and P. Boucher, The tiling patterns of Sebastien特魯謝and the topology of structural hierarchy. Leonardo 20, 373–385 (1987) M. L. Stein, S. M. Ulam and M. B. Wells, A visual display of some properties of the distribution of primes. Amer. Math. Monthly 71, 516–520 (1964) S. Truchet, Mémoire sur les combinaisons. In Mémoires de mathématique et de physique tirés des registres de l’Académie Royale des Sciences, pp. 363–372, Paris (1704) https://gallica./ark:/12148/bpt6k3486m/f517 S. Vinatier and R. Alcorn, Les maths vues par un artiste: une expérience de diffusion de la culture mathématique via l’art et l’histoire de l’art. Gaz. Math. 144 48–53 (2015)
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