C4 解析幾何

百眼通 2017-10-30

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【學習百眼通】何岳山編輯整理
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解析幾何指借助笛卡爾坐標系，由笛卡爾、費馬等數學家創立并發展。它是用代數方法研究幾何對象之間的關系和性質的一門幾何學分支，亦叫做坐標幾何。在解析幾何創立以前，幾何與代數是彼此獨立的兩個分支。解析幾何的建立第一次真正實現了幾何方法與代數方法的結合，使形與數統一起來，運用代數方法研究幾何問題，或用幾何方法研究代數問題，這是數學發展史上的一次重大突破。作為變量數學發展的第一個決定性步驟，解析幾何的建立對于微積分的誕生有著不可估量的作用。
解析幾何包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分。在平面解析幾何中，除了研究直線的有關性質外，主要是研究圓錐曲線(圓、橢圓、拋物線、雙曲線)的有關性質。在空間解析幾何中，除了研究平面、直線有關性質外，主要研究柱面、錐面、旋轉曲面。如橢圓、雙曲線、拋物線的有些性質，在生產或生活中被廣泛應用。比如電影放映機的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個焦點上，影片門在另一個焦點上;探照燈、聚光燈、太陽灶、雷達天線、衛星天線、射電望遠鏡等都是利用拋物線的原理制成的?？偟膩碚f，解析幾何運用坐標法可以解決兩類基本問題:一類是滿足給定條件點的軌跡，通過坐標系建立它的方程;另一類是通過方程的討論，研究方程所表示的曲線性質。

    十六世紀以后，由于生產和科學技術的發展，天文、力學、航海等方面都對幾何學提出了新的需要。比如，德國天文學家開普勒發現行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運行的，太陽處在這個橢圓的一個焦點上;意大利科學家伽利略發現投擲物體是沿著拋物線運動的。這些發現都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復雜的曲線，原先的一套方法顯然已經不適應了，這就導致了解析幾何的出現。
    解析幾何的產生并不是偶然的。在笛卡爾寫《幾何學》以前，就有許多學者研究過用兩條相交直線作為一種坐標系;也有人在研究天文、地理的時候，提出了一點位置可由兩個“坐標(經度和緯度)”來確定。這些都對解析幾何的創建產生了很大的影響。
    1637年，法國的哲學家和數學家笛卡爾發表了他的著作《方法論》，這本書的后面有三篇附錄，一篇叫《折光學》，一篇叫《流星學》，一篇叫《幾何學》。當時的這個“幾何學”實際上指的是數學，就像我國古代“算術”和“數學”是一個意思一樣。笛卡爾的《幾何學》共分三卷，第一卷討論尺規作圖;第二卷是曲線的性質;第三卷是立體和“超立體”的作圖，但他實際是代數問題，探討方程的根的性質。后世的數學家和數學史學家都把笛卡爾的《幾何學》作為解析幾何的起點。從笛卡爾的《幾何學》中可以看出，笛卡爾的中心思想是建立起一種“普遍”的數學，把算術、代數、幾何統一起來。他設想，把任何數學問題化為一個代數問題，在把任何代數問題歸結到去解一個方程式。為了實現上述的設想，笛卡爾從天文和地理的經緯制度出發，指出平面上的點和實數對(x，y)的對應關系。x，y的不同數值可以確定平面上許多不同的點，這樣就可以用代數的方法研究曲線的性質。這就是解析幾何的基本思想。具體地說，平面解析幾何的基本思想有兩個要點:第一，在平面建立坐標系，一點的坐標與一組有序的實數對相對應;第二，在平面上建立了坐標系后，平面上的一條曲線就可由帶兩個變數的一個代數方程來表示了。從這里可以看到，運用坐標法不僅可以把幾何問題通過代數的方法解決，而且還把變量、函數以及數和形等重要概念密切聯系了起來。

笛卡爾

費爾馬

在數學史上，一般認為和笛卡爾同時代的法國業余數學家費爾馬也是解析幾何的創建者之一，應該分享這門學科創建的榮譽。費爾馬是一個業余從事數學研究的學者，對數論、解析幾何、概率論三個方面都有重要貢獻。他性情謙和，好靜成癖，對自己所寫的“書”無意發表。但從他的通信中知道，他早在笛卡爾發表《幾何學》以前，就已寫了關于解析幾何的小文，就已經有了解析幾何的思想。只是直到1679年，費爾馬死后，他的思想和著述才從給友人的通信中公開發表。

學習課程

【小學數學】

【初中數學】

【高中數學】

必修二

第三章直線與方程（編號C4gzb2z3）

3.1直線的傾斜角與斜率（編號C4gzb2z3.1）

3.1.1傾斜角與斜率

3.1.2兩條直線平行與垂直的判定

3.2直線的方程（編號C4gzb2z3.2）

3.2.1直線的點斜式方程

3.2.2直線的兩點式方程