解析幾何，又叫坐標(biāo)幾何，或笛卡爾幾何，是運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問題，或用幾何方法研究代數(shù)問題的一門數(shù)學(xué)。通常，使用二維或三維的直角坐標(biāo)系，建立點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及曲線與方程之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

1637年，笛卡爾在其著作《方法論》的三篇附錄之一“幾何學(xué)”中提出了解析幾何的基本方法。這種方法對(duì)幾何學(xué)來說是革命性的。首先，使用代數(shù)技巧來解決幾何問題，這意味著數(shù)與形統(tǒng)一起來了，代數(shù)方法與幾何方法第一次真正結(jié)合了。其次，數(shù)學(xué)家們有了一種選擇，可以將幾何學(xué)視為代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支了。而這個(gè)革命性的新進(jìn)路據(jù)說是由一只蒼蠅引發(fā)的靈感，這則軼事在齊斯·德福林的《數(shù)學(xué)的語言》一書中有記載。

眾所周知，笛卡爾身體虛弱，容易生病，非常喜歡躺在床上。1619那個(gè)寒冷的冬季，對(duì)數(shù)學(xué)興趣正濃的笛卡爾，躺在床上翻來覆去地思考問題時(shí)，一只在天花板上爬行的蒼蠅引起了他的注意。注視著這只蒼蠅爬來爬去，笛卡爾領(lǐng)悟到它在任一時(shí)刻的位置，都可以用它那一時(shí)刻與兩面垂直墻面的距離來確定。就這樣笛卡爾找到了用代數(shù)方程描述蒼蠅的爬行路徑的方法，同時(shí)也找到了一種表現(xiàn)直線和曲線的新方法。這種代數(shù)方法，雖然完全不同于古希臘人所提出的幾何論證，但卻不會(huì)將幾何研究變成代數(shù)課題，也就是說結(jié)果依然是幾何，只不過是利用代數(shù)技巧來研究形狀的模式而已。

我們知道，科學(xué)主要是通過替代來發(fā)展，而數(shù)學(xué)主要通過沉淀而成長(zhǎng)，但解析幾何的建立雖然也是站在巨人的肩膀上，不過這些巨人距離笛卡爾的時(shí)代有些遠(yuǎn)，正如博耶教授所說：“乃是由一次試圖回歸過去的努力所激發(fā)的。”要記得，《幾何學(xué)》只是笛卡爾的《方法論》中的一篇附錄。而笛卡爾最重要的影響，除了建立了解析幾何，就是對(duì)方法論的反思了。

在17世紀(jì)那個(gè)新舊知識(shí)交替的時(shí)代，為了在一片混亂中求得確定性，笛卡爾開啟了“普遍懷疑”的模式，并把目光轉(zhuǎn)向了他所擅長(zhǎng)的數(shù)學(xué)。笛卡爾想要建立一種普遍數(shù)學(xué)，把代數(shù)、幾何、算術(shù)統(tǒng)一起來。正是在這種“追本溯源”的“普遍”模式下，笛卡爾注意到了帕普斯的三線或四線軌跡問題。所謂的“三線或四線軌跡問題”也就是說，給定一個(gè)平面上的三條直線（或四條直線），求出點(diǎn)P的軌跡，它與其中一條直線的距離跟它與另外兩條直線的距離之積成比例（或者，在四條直線的情況下，它與其中兩條直線的距離之積跟它與另外兩條直線的距離之積成比例）。其實(shí)，三線或四線軌跡不僅充當(dāng)了發(fā)明解析幾何的起跑點(diǎn)，而且，從歐幾里得到牛頓，它都在數(shù)學(xué)中扮演了一個(gè)重要的角色。

圖片來自《數(shù)學(xué)史》

雖然笛卡爾建立了解析幾何，但解析幾何的迅速發(fā)展卻主要是通過荷蘭的數(shù)學(xué)家——弗蘭斯·范·斯霍滕（1615-1660）——及其他的弟子才得以發(fā)生的。笛卡爾的《幾何學(xué)》最初是用法文，而不是當(dāng)時(shí)學(xué)者的通用語言拉丁文寫成的，雖然一切有學(xué)問的人都可以通讀，但是要知道，笛卡爾是天才，他無法體會(huì)別人在理解他那些新且深?yuàn)W的思想上所遇到的困難，尤其是他的闡述并不清晰。

當(dāng)斯霍滕在1649年出版拉丁文版的《幾何學(xué)》，并加入了一些補(bǔ)充材料，這些障礙才被克服。另外，斯霍滕的兩卷本的《笛卡爾的幾何學(xué)》在1659-1661年出版，內(nèi)容上有了極大的擴(kuò)充，其中收錄了著名的荷蘭省三級(jí)議會(huì)大議長(zhǎng)讓·德·維特（1629-1672）在1658年撰寫的《曲線原理》。這是一部對(duì)解析幾何貢獻(xiàn)非常廣泛的作品?！白髌返哪康氖且ㄟ^坐標(biāo)軸的平移和旋轉(zhuǎn)，把所有以x和 y 為未知數(shù)的二次方程簡(jiǎn)化為公認(rèn)的形式。他知道如何根據(jù)所謂的判別式究竟是負(fù)數(shù)、是零，還是正數(shù)，來識(shí)別這樣一個(gè)方程所描繪的曲線是何時(shí)是一個(gè)橢圓、拋物線、雙曲線?！保ā洞鷶?shù)史》 P403）

其實(shí)，笛卡爾闡述不清晰的不僅是解析幾何，還有“身心二元論”。正如蘇炳森老師所說，這是笛卡爾給我們帶來的“第二個(gè)災(zāi)難”。蘇老師說“雖然笛卡爾給人的感覺是上帝中心論，認(rèn)為上帝是一切知識(shí)的保障，但他方法的開端是“我思”，也就是說從一開始人就是中心。盡管笛卡爾是天主教的背景，把上帝放在第一位，但他已經(jīng)開啟了人的優(yōu)先性，所以，其本質(zhì)上還是自然神學(xué)，得出的還是一種單純的、不變的、抽象的、思維上的上帝，與托馬斯·阿奎那差不多?！彼裕拖竦聡?guó)神學(xué)家潘能伯格所說，笛卡爾就成了“一種人類中心主義的、建立在“我思”之上的哲學(xué)的創(chuàng)始人?！?（ 《神學(xué)與哲學(xué)》 P174）

另外，笛卡爾給人類帶來的第一個(gè)災(zāi)難就是他的數(shù)學(xué)性的方法論。帕斯卡爾曾抨擊笛卡爾的數(shù)理邏輯，斥之為冷冰冰的，僅僅適合于“幾何人”。有趣的是帕斯卡爾也是一位數(shù)學(xué)天才，12歲時(shí)就表現(xiàn)出了非凡的幾何才能，16歲就發(fā)表了《略論圓錐曲線》，這本小冊(cè)子僅一頁，但卻是歷史上最富有成果的書頁之一。但是在他30歲時(shí)，帕斯卡爾經(jīng)歷了一次宗教狂喜，就放棄了科學(xué)和數(shù)學(xué)，轉(zhuǎn)向神學(xué)，并寫出了《鄉(xiāng)巴佬書信》和《思想錄》。

圖片來自《數(shù)學(xué)大迷思》

的確，邏輯是比較確定的個(gè)人性思考，數(shù)理邏輯就更強(qiáng)調(diào)簡(jiǎn)單和清晰，如果用于數(shù)學(xué)上是很好的，比如四維及以上維度圖形的數(shù)學(xué)研究。就像《數(shù)學(xué)的語言》一書中所說，在心靈中從一個(gè)三維模型重建一個(gè)四維圖形是非常困難的，要得到像超立方體等四維及以上物體的數(shù)據(jù)，你就不得不放棄可視化的企圖，而最可靠的方法是使用坐標(biāo)代數(shù)。當(dāng)然這不只是一個(gè)智力游戲，它在現(xiàn)實(shí)世界有很好地應(yīng)用的。像今日工業(yè)中廣泛使用的計(jì)算機(jī)程序，就是這種研究的直接結(jié)果。

但是，一旦把這種數(shù)理邏輯推而廣之，就危險(xiǎn)了，畢竟自然萬物給我們的意象并不是簡(jiǎn)單的，清晰的，反而是豐富多彩的，里面更多的是一種審美的，詩性的韻律。而笛卡爾的方法論恰恰就是要用這種數(shù)理邏輯取代古典的語文性的文法邏輯和修辭。由此，就像蘇老師所說，教育的敗壞就開始了。在教育中，將一切簡(jiǎn)單清晰化，其實(shí)就是把一切美的東西剝掉了，而與之同被棄掉的還有上帝的榮耀和愛。久而久之，我們所教出的學(xué)生就成了路易斯所說的“無胸之人”。