撰文 | 詹姆斯·格雷克
翻譯 | 林開(kāi)亮
紐結(jié)是日常打結(jié)的形式化、標(biāo)準(zhǔn)化與理想化，即一維線條在三維空間中彎彎曲曲所形成的封閉環(huán)。在數(shù)學(xué)家心目中，紐結(jié)是自然最本質(zhì)的形狀之一。紐結(jié)理論的未來(lái)，究其本身而言，是研究一種特殊類型的復(fù)雜性。
一系列令人驚奇的發(fā)現(xiàn)正在幫助數(shù)學(xué)的最純粹形式之一——紐結(jié)理論——的實(shí)踐者來(lái)解決該學(xué)科最基本的問(wèn)題：如何將一個(gè)紐結(jié)與另一個(gè)紐結(jié)區(qū)分開(kāi)來(lái)。
同時(shí)，對(duì)于正在研究類似于化學(xué)和分子生物學(xué)中分子結(jié)構(gòu)的纏繞、環(huán)狀線體的科學(xué)家，這些進(jìn)展為其提供了一種新的工具。關(guān)于紐結(jié)的數(shù)學(xué)認(rèn)知似乎為科學(xué)家們將分子組織、破譯成復(fù)雜DNA結(jié)構(gòu)的方式帶來(lái)了直接的希望。
理論家所研究的紐結(jié)是日常打結(jié)的形式化、標(biāo)準(zhǔn)化與理想化，即一維線條在三維空間中彎彎曲曲所形成的封閉環(huán)。它在數(shù)學(xué)家心目中是自然最本質(zhì)的形狀之一。關(guān)于命名、分類和理解紐結(jié)的問(wèn)題被證實(shí)是極為困難的。
DNA的圖像清楚地顯示出，伴隨有旋轉(zhuǎn)和交錯(cuò)的紐結(jié)可以通過(guò)分子涂層可視化，從而通過(guò)電子顯微鏡看到。數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)似乎為解開(kāi)在生命的復(fù)制與重組的基本過(guò)程中，從一個(gè)結(jié)構(gòu)變?yōu)榱硗庖粋€(gè)結(jié)構(gòu)的方式提供了鑰匙。
“這是數(shù)學(xué)和生物學(xué)的一個(gè)非比尋常的連接，”美國(guó)國(guó)立衛(wèi)生研究院的水內(nèi)清志（Kiyoshi Mizuuchi）說(shuō)。“你可以獲得關(guān)于酶的強(qiáng)有力的信息，而這些信息原本是不可能獲得的。”
最重要的是，化學(xué)家和分子生物學(xué)家正逐漸意識(shí)到，這些重要特征可以通過(guò)采用紐結(jié)理論家的現(xiàn)實(shí)觀點(diǎn)來(lái)理解。在歐幾里得幾何學(xué)中，結(jié)構(gòu)屬于剛性領(lǐng)域，紐結(jié)理論家則完全靈活地看待這些結(jié)構(gòu)。這就是拓?fù)鋵W(xué)的本質(zhì)，而紐結(jié)理論是這門“橡皮幾何”的一個(gè)分支。距離和尺寸是無(wú)關(guān)緊要的。如果某一紐結(jié)可以被彎曲、扭曲、拉伸、擠壓或以其他方式變形成為另一個(gè)的紐結(jié)（在不被切割或解開(kāi)的情況下），則這兩個(gè)紐結(jié)就是等價(jià)的。
最基本的拓?fù)湓硎呛茈y被證明的。例如，決定兩個(gè)紐結(jié)（被畫在紙上或用細(xì)繩來(lái)模擬）是否相同或不同的問(wèn)題被證實(shí)是一個(gè)貫穿始終的難題。任何一個(gè)曾經(jīng)解開(kāi)包裹或解開(kāi)一束紗線的人都熟悉該問(wèn)題，它的實(shí)質(zhì)已經(jīng)占據(jù)了數(shù)學(xué)家們將近一個(gè)世紀(jì)的時(shí)間，現(xiàn)在似乎比以往任何時(shí)候都更接近現(xiàn)代幾何學(xué)的核心。
倫敦南岸大學(xué)理工學(xué)院的數(shù)學(xué)家莫文·西斯?fàn)査柬f特 (Morwen B.Thistlethwaite) 說(shuō)：“在這個(gè)課題中，存在很多潛在的困難。這些問(wèn)題很容易被陳述，但解決起來(lái)卻十分困難。并且這些技巧已經(jīng)變得非常強(qiáng)有力。”
事實(shí)上，紐結(jié)理論中的重大問(wèn)題有時(shí)以?shī)蕵?lè)性的智力題為幌子而出現(xiàn)。例如，假設(shè)“作弊”被定義為將一個(gè)閉合紐結(jié)的一部分穿過(guò)另一部分，你必須作弊多少次才能把給定的紐結(jié)“解開(kāi)”或變成圓環(huán)？對(duì)于一個(gè)僅有8個(gè)交叉的紐結(jié)而言，答案最近才被證明，是兩次，其證明需要300頁(yè)的密集分析。對(duì)于其他簡(jiǎn)單的紐結(jié)，解結(jié)次數(shù)仍然未知。
確定性是難以捉摸的
對(duì)于此類問(wèn)題，一個(gè)持久性的主題是，解決方案似乎顯而易見(jiàn)，但最后的確定度卻不然。作弊一次似乎不足以解開(kāi)紐結(jié)。兩個(gè)紐結(jié)似乎是不同的，在經(jīng)過(guò)幾個(gè)小時(shí)的解紐和解環(huán)之后，通過(guò)試驗(yàn)，你會(huì)肯定它們是不同的。但也許僅僅是你還不夠耐心或者不夠聰明，因而，不能通過(guò)眼睛和手來(lái)得到確定的結(jié)果。數(shù)學(xué)家需要一個(gè)系統(tǒng)。
當(dāng)水手根據(jù)物理特征對(duì)紐結(jié)進(jìn)行分類時(shí)，數(shù)學(xué)家需要對(duì)繩圈和交叉的列表方式賦予明確的定義。當(dāng)紐結(jié)變得越來(lái)越復(fù)雜時(shí)，其復(fù)雜性也隨之增加。最簡(jiǎn)單的紐結(jié)，稱為三葉結(jié)，僅用三個(gè)交叉的方式即可畫出。除了它的鏡像之外，它是唯一的。類似地，有四個(gè)交叉的紐結(jié)只有一個(gè)，有五個(gè)交叉的紐結(jié)只有兩個(gè)。但是有十個(gè)交叉點(diǎn)的紐結(jié)有165個(gè)，而總共有13個(gè)交叉點(diǎn)的紐結(jié)有2965個(gè)，該數(shù)量是現(xiàn)存的完整目錄中最高的。
交叉數(shù)逐漸增多，從而變得越來(lái)越復(fù)雜的紐結(jié)。| 圖片來(lái)源：Wikipedia
自首個(gè)重要的紐結(jié)分類表于19世紀(jì)由蘇格蘭物理學(xué)家彼得·格思里·泰特（Peter Guthrie Tait）和美國(guó)數(shù)學(xué)家利特爾 (C. N. Little) 給出以來(lái)，數(shù)學(xué)家一直在試圖尋找出“不變量”，即一些可以將一個(gè)紐結(jié)與另一個(gè)紐結(jié)區(qū)分開(kāi)來(lái)的基本性質(zhì)。完美的不變量將可以區(qū)分任何一對(duì)紐結(jié)。盡管一些不變量是不夠完美的，但它們比其他的一些不變量要更有效。
紐結(jié)理論的最新突破是發(fā)現(xiàn)了一種特別強(qiáng)大的不變量，它能夠區(qū)分其他不變量對(duì)之失效的紐結(jié)。幾個(gè)數(shù)學(xué)家群體各自獨(dú)立地制定了一些規(guī)則，這些規(guī)則可以使得他們處理任意紐結(jié)，并將其系統(tǒng)地變?yōu)橐粋€(gè)代數(shù)表達(dá)式，該表達(dá)式被稱為多項(xiàng)式，即數(shù)字和變量的組合。
多項(xiàng)式可充當(dāng)紐結(jié)的一種標(biāo)記。與紐結(jié)本身不同，通過(guò)觀察，多項(xiàng)式就可以被區(qū)別開(kāi)來(lái)。如果兩個(gè)紐結(jié)的多項(xiàng)式是不同的，則這兩個(gè)紐結(jié)就是不同的。不幸的是，如果它們是相同的，這兩個(gè)紐結(jié)卻未必是相同的。
大小與形狀無(wú)關(guān)緊要
正如在所有的拓?fù)鋯?wèn)題中一樣，一個(gè)環(huán)的具體大小或形狀是無(wú)關(guān)緊要的。重要的是紐結(jié)的交叉、上線或下線的方向，以及它們相對(duì)于其他交叉點(diǎn)的排列。
第一個(gè)多項(xiàng)式不變量，且是直至最近唯一的一個(gè)，于20世紀(jì)20年代被發(fā)現(xiàn)。它區(qū)分了許多紐結(jié)，但是數(shù)學(xué)家無(wú)法預(yù)知該多項(xiàng)式何時(shí)有效，何時(shí)失效。
加州大學(xué)伯克利分校的沃恩·瓊斯 (Vaughan F. R. Jones) 是一位代數(shù)領(lǐng)域而非紐結(jié)理論領(lǐng)域的專家，在1984年，他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的多項(xiàng)式不變量，之后一個(gè)接一個(gè)的數(shù)學(xué)家進(jìn)一步利用了他的發(fā)現(xiàn)。
“這是一個(gè)非常令人興奮的、驚人的發(fā)展，”巴納德學(xué)院的一位數(shù)學(xué)家瓊·伯曼 (Joan S. Birman) 說(shuō)，她是研究紐結(jié)和與其有著近親關(guān)系的辮 (braid) 方面的權(quán)威。“這對(duì)于紐結(jié)理論是重要的，且其重要性的更大意義在于它是數(shù)學(xué)上兩個(gè)完全不同領(lǐng)域之間的橋梁，人們從來(lái)沒(méi)有想象到有這樣一個(gè)聯(lián)系。”
來(lái)自不同領(lǐng)域的300位數(shù)學(xué)家，以及一些分子生物學(xué)家，下周將在加利福尼亞州圣克魯斯召開(kāi)的會(huì)議上討論這些新的進(jìn)展。
馬薩諸塞州克拉克大學(xué)伍斯特分校的戴維·耶特（David Yette）說(shuō)：“這為數(shù)學(xué)的一部分領(lǐng)域打開(kāi)了一個(gè)在此之前完全沒(méi)有預(yù)想過(guò)的前景之門。”他和其他五位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了另一個(gè)新的多項(xiàng)式，被稱為Homfly，該名稱來(lái)自他們姓氏的首字母。耶特博士說(shuō)：“數(shù)學(xué)作為一個(gè)整體正在被改變的跡象是，當(dāng)每個(gè)人都認(rèn)為不同領(lǐng)域是分開(kāi)發(fā)展的時(shí)候，它們被發(fā)現(xiàn)是相互聯(lián)系的。這些領(lǐng)域開(kāi)始聚集，成為某一整體的一部分。”
如新技術(shù)一樣強(qiáng)大的是，這些多項(xiàng)式也是神秘莫測(cè)的：到目前為止，紐結(jié)理論家無(wú)法很好地解釋為什么它們工作得如它們做的一樣好。某種程度上，將一個(gè)具體結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成一個(gè)抽象的代數(shù)表達(dá)式，其過(guò)程必須抓住該紐結(jié)的一些本質(zhì)特征，但是沒(méi)有人準(zhǔn)確地知道這些本質(zhì)特征是什么。從某種意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)家熟知新發(fā)現(xiàn)背后的代數(shù)，而不是幾何學(xué)。
“它們是神奇的，”伯曼博士說(shuō)，“這是我們正在做的魔術(shù)。這個(gè)多項(xiàng)式抓住了某些事實(shí)，但是很難說(shuō)它是什么。”
即使沒(méi)有新的不變量，將交叉數(shù)不大于13的所有紐結(jié)分類也是可能的，這一工作在1982年就完成了，但其過(guò)程艱巨且容易出錯(cuò)，甚至是證明三葉結(jié)與平凡結(jié)不同也非常難，用早期的方法來(lái)區(qū)分兩個(gè)難以辨別的紐結(jié)時(shí)需要大量的計(jì)算。理論上，它可能需要數(shù)百萬(wàn)小時(shí)的計(jì)算時(shí)間。與之相比，新的多項(xiàng)式要快得多。
艾奧瓦大學(xué)的數(shù)學(xué)家喬納森·西蒙 (Jonathan Simon) 說(shuō)：“它們非常重要，同時(shí)非常簡(jiǎn)單。人們?cè)缇蛻?yīng)該看到這些——這里的‘人們’指的是過(guò)去20年的所有紐結(jié)理論家。”
有幾個(gè)數(shù)學(xué)家超越了常規(guī)抽象學(xué)科的通常界限，開(kāi)始探索化學(xué)的含義，西蒙博士就是其中之一。
很多年前，化學(xué)家們就已經(jīng)知道，分子可以采用紐結(jié)的形式，也可以采用其他結(jié)構(gòu)，比如鏈環(huán)或者說(shuō)“索烴”。但直到最近為止，大多數(shù)有幾何思想的化學(xué)家考慮的都是剛性模型而不是無(wú)限靈活的模型。
“現(xiàn)在化學(xué)家們已經(jīng)開(kāi)始制造分子，它們位于空間中的差異是由于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，而不是剛性幾何結(jié)構(gòu)。”西蒙博士說(shuō)，“拓?fù)鋵W(xué)中充滿了美麗的圖畫和簡(jiǎn)潔的思想，且對(duì)思想和圖畫有一些迷戀，但這里也有實(shí)質(zhì)性的內(nèi)容。”
其他化學(xué)家和生物學(xué)家正在研究通過(guò)某些化學(xué)反應(yīng)或肌肉細(xì)胞陣列傳播的特殊波。在此類“激發(fā)介質(zhì)”中，刺激產(chǎn)生一種反應(yīng)，該反應(yīng)從一個(gè)地方傳播到另一個(gè)地方，就像池塘中一個(gè)向外蕩漾的波浪。視網(wǎng)膜中神經(jīng)細(xì)胞薄片是一個(gè)例子，而心肌是另外一個(gè)例子。在三維空間中，這樣的波浪可以形成奇妙的形狀，而這些形狀的核心可以形成線狀細(xì)絲。
2017年，科學(xué)家第一次合成了有8個(gè)交叉的分子糾結(jié)，圖中是這種紐結(jié)的X射線晶體結(jié)構(gòu)。| 圖片來(lái)源：Robert W. McGregor
“意大利面片”
“當(dāng)你有一個(gè)空間擴(kuò)展的媒介，你可以有結(jié)構(gòu)、線條、意大利面片狀，”阿瑟·溫弗里 (Arthur T. Winfree) 說(shuō)。他是一個(gè)理論生物學(xué)家，在實(shí)驗(yàn)室中借助于強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)對(duì)激發(fā)介質(zhì)進(jìn)行了廣泛的模擬。“所有這些數(shù)學(xué)都可以被鎖定、存儲(chǔ)和移動(dòng)，并且在一個(gè)完全不同的環(huán)境中使用。”
這些細(xì)絲，正如它所產(chǎn)生的那樣，可以被連接甚至被打結(jié)。獨(dú)特的拓?fù)湫螤钏坪醍a(chǎn)生了獨(dú)特的類型。
在分子生物學(xué)中，最著名的三維結(jié)構(gòu)是DNA，其超螺旋的雙螺旋結(jié)構(gòu)連接兩條鏈，并將其遺傳信息壓縮到可管理的空間區(qū)域。如線圈般盤繞的超螺旋能儲(chǔ)存細(xì)胞可使用的能量，就像扭曲的橡皮筋所具有的能量一樣。
當(dāng)螺旋的線在重組過(guò)程中需要被拉開(kāi)，然后重新纏繞時(shí)，螺旋還產(chǎn)生了一個(gè)可怕的拓?fù)鋯?wèn)題。研究這些過(guò)程的生物學(xué)家已經(jīng)改變了他們的重點(diǎn)。許多生物學(xué)家越來(lái)越多地關(guān)注于空間中鏈的靈活性排列，而不是專注于DNA的組成基元——堿基對(duì)——的排列，將DNA單線視為簡(jiǎn)單的直線。
糾纏的DNA結(jié)構(gòu)。| 圖片來(lái)源：Chris Hammang
“我們有了美好的一天”
通常，這些結(jié)構(gòu)似乎影響酶的作用，酶在重組過(guò)程中充當(dāng)媒介和信使。加州大學(xué)伯克利分校的分子生物學(xué)家尼古拉斯·科扎雷利（Nicholas R.Cozzarelli）是一名分子生物學(xué)家，他開(kāi)創(chuàng)了涂層技術(shù)，從而使得DNA紐結(jié)的成像成為了可能。他說(shuō)：“這是我們的美好的一天，這一天，數(shù)學(xué)和生物化學(xué)有了最完美的結(jié)合。”
紐結(jié)理論現(xiàn)在能使生物學(xué)家觀察酶反應(yīng)的開(kāi)始和結(jié)束階段，并推斷出中間階段是什么，還可以使他們預(yù)知酶臨時(shí)斷鏈以解開(kāi)結(jié)的可能性方式。特別地，新的瓊斯多項(xiàng)式似乎提供了一種量化此過(guò)程的方法，這也許是因?yàn)樵摱囗?xiàng)式對(duì)紐結(jié)的交叉特別敏感。
對(duì)于大多數(shù)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，在化學(xué)和生物學(xué)方面的應(yīng)用仍然是一個(gè)次要的問(wèn)題，樂(lè)于去了解但并不是特別令人驚訝。紐結(jié)理論的未來(lái)，正如他們所看到的，將一如過(guò)去，究其本身而言是研究一種特殊類型的復(fù)雜性。
本文經(jīng)授權(quán)取自《數(shù)學(xué)百年風(fēng)云：〈紐約時(shí)報(bào)〉數(shù)學(xué)報(bào)道精選（1892-2010）》（上海科技教育出版社，2019年6月），文中圖片來(lái)自網(wǎng)絡(luò)。
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