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★加星zzllrr小樂公眾號數學科普不迷路！ 一個新證明代表了有關特殊維度異常形狀的65年歷史故事的高潮。
圖源：Kristina Armitage/Quanta Magazine
譯者注： 為饗讀者，更快了解Kervaire不變量問題的一些背景知識，去年（2024-11-22）徐宙利因共同解決126維標架流形的Kervaire不變量問題而獲得美國數學會百年紀念研究獎學金，請參閱相關報道： 小樂數學科普：徐宙利獲得2025 - 2026AMS Centennial美國數學會百年紀念研究獎學金$50000 注： 在數學中，Kervaire不變量問題，是確定Kervaire不變量（也稱為Arf-Kervaire不變量）在哪些維度n可以非零的問題。 截至2024-11-22本文發稿前，數學家們已證明對于可微流形（也稱微分流形、光滑流形），當且僅當n滿足下列形式可以非零：n=2?-2，其中k=2, 3, 4, 5, 6, 7，即n=2, 6, 14, 20, 62, 126（其中遺留的唯一不確定的是n=126維的情況，2024年5月由徐宙利分別在北京大學和普林斯頓大學宣布解決）。 Kervaire不變量是針對有標架的n維流形的不變量，用于度量該流形是否可以通過手術轉換成球面（如可以轉換，此不變量的計算結果為0，否則為1）。 在任何給定的維度n中，只有兩種可能性：要么所有流形的Arf-Kervaire不變量都等于0，要么一半流形的Arf-Kervaire不變量為0，另一半流形的Arf-Kervaire不變量為1。 你很容易假設自己對三維空間的直覺會延續到更高維度的空間。畢竟，增加一個維度只是創造了一個新的移動方向，并不會改變空間的本質特征：它的無限性和均勻性。 但不同維度的“性格”截然不同。在8維和24維中，球體可以緊密地堆積在一起 https://www./sphere-packing-solved-in-higher-dimensions-20160330/ 。在其他維度中，則存在一些“奇特”的球面，它們看起來皺巴巴的，無可救藥。而只有3維才可能存在結——在任何更高的維度中，即使緊緊抓住結的兩端，你也能解開它。 如今，數學家們終于為一個醞釀了65年的維度奇異性故事畫上了句號。幾十年來，研究人員一直想知道哪些維度能夠容納特別奇特的形狀——那些扭曲到無法通過簡單的“手術”轉換成球面的形狀。數學家們已經證明，這些形狀的存在與拓撲學中關于不同維度球面之間關系的基本問題密切相關。 多年來，數學家們發現這些扭曲的形狀存在于2、6、14、30和62維空間中。他們還證明，除了126維空間外，其他任何維度都不可能存在這樣的形狀。至今無人能確定126維空間的狀態。 如今，三位數學家終于解決了這個終極難題。在去年12月發表于網絡的一篇論文 https:///abs/2412.10879 中，上海復旦大學的林偉南和王國禎，以及加州大學洛杉磯分校的徐宙利證明了126確實是能夠容納這些奇特扭曲形狀的罕見維度之一。 牛津大學的烏爾麗克·蒂爾曼（Ulrike Tillmann，1962 -）表示，這是“一個非常漫長的項目，終于完成了”。 哈佛大學的邁克爾·霍普金斯（Michael Hopkins，1958 -）表示，該證明結合了計算機計算和理論洞察，堪稱“一項浩大的工程”。“他們是如何做到的，真是令人瞠目結舌。”
1950年代，數學家約翰·米爾諾（John Milnor，1931 -）證明了七維空間中存在著“奇異”球面，這一發現震驚了數學界 https://mathscinet./mathscinet/relay-station?mr=0082103 。從拓撲學的角度來看，奇異球面與普通球面完全一樣，因為拓撲學只考慮形狀在拉伸或變形時不會發生變化的特征。 但這兩個球面對光滑度的定義并不相容——在普通球面上光滑的曲線在奇異球面上可能并不光滑。米爾諾渴望探索和分類這些奇異球面，它們在某些維度上非常罕見，而在其他維度上則多達數千個。 為此，他引入了一種名為“手術”的技術 https://mathscinet./mathscinet/relay-station?mr=0130696 ，這是一種可控的方法，可以簡化數學形狀，即流形（manifold），并有可能將其轉換為奇異的球面。這種方法后來成為流形研究的通用方法。 顧名思義，手術就是切掉流形的一部分，然后沿著切口的邊界縫合一個或多個新的部分。你必須光滑地縫合這些新的部分，不能產生尖角或邊緣。（當涉及到扭曲形狀的問題時，數學家還要求手術尊重流形的“標架”（framing），這是流形在空間中坐標定位的技術性的性質。） 為了實際觀察這個過程，讓我們將一個圓環（甜甜圈的二維表面）精確地轉換成一個球面（球的二維表面）：
圖源：Samuel Velasco / Quanta Magazine 所得結果是一個普通的球面——事實上，二維奇異球面是不存在的。但在某些維度上，手術會將一些流形轉換成普通球面，而將另一些流形轉換成奇異球面。有時，還存在另一種可能性：流形根本無法轉換成球面。 為了形象化地展示后者，我們可以再次看一下圓環，只是這次我們會給它一些特殊的扭曲來阻礙手術：
圖源：Samuel Velasco / Quanta Magazine 數學家已經證明，沒有任何方法可以將這個扭曲的環面變成球面，無論是規則的還是奇異的。它是一類完全不同的流形。 1960年，法國數學家米歇爾·科維爾（Michel Kervaire，1927 - 2007）提出了一個不變量 https://link./article/10.1007/BF02565940 ，即一個可以計算給定光滑流形的數值。當該流形可以精確地轉化為球面時，該不變量等于零；當該流形無法轉化為球面時，該不變量等于1。因此，普通環面的Kervaire不變量為0，而扭曲環面的Kervaire不變量為1。 科維爾利用他的不變量探索了不同維度中各種可能的流形。他甚至用它構造了一個10維流形，這個流形沒有所謂的要么為0、要么為1的Kervaire不變量——這意味著這個流形一定是歪歪扭扭的，根本就沒有合理的光滑性概念。 沒有人想象過這樣的流形會存在。面對這個新不變量的強大威力，數學家們爭相確定不同維度流形的Kervaire不變量。 幾年之內，他們就證明了在 2、6、14和30維空間中存在Kervaire不變量為1的扭曲流形。這些維度符合一個規律：每個數都比2的冪小2（例如，30等于2?-2 ）。1969年，數學家威廉·布勞德（William Browder，1934 - 2025）證明了這種形式的維度 https://www./stable/1970686 是唯一可能存在Kervaire不變量為1的形狀的維度。 人們很自然地會假設扭曲流形存在于所有維度上：62、126、254等等。基于這一假設，一位數學家甚至構建了關于奇異球面和其他形狀的一系列猜想。但最初的假設可能為假的可能性仍然存在。它后來被稱為末日假說，因為它將推翻所有其他猜想。 徐宙利在讀研究生期間曾被警告不要嘗試解決科維爾猜想。但他表示，這個問題“一直讓他著迷”。
圖源：上沃爾法赫數學研究所檔案 的確，盡管數學家們在1984年證明了62維空間中存在扭曲流形 https://londmathsoc.onlinelibrary./doi/abs/10.1112/jlms/s2-30.3.533 ，但沒有人能夠證明這樣的流形在其余任何維度中也存在。隨著一次又一次的探索無果，數學家們最終精疲力竭，這個問題也隨之陷入僵局。 2009年，為了“阻止遺忘之潮”，數學家維克多·斯奈斯（Victor Snaith，1944 - 2021）https:// 寫了一本書，探討了在布勞德列出的所有維度上，存在滿足Kervaire不變量1的流形的含義。然而，斯奈斯在前言中警告說：“這本書最終可能會變成一本關于根本不存在之物的書。” 如果斯奈斯晚一年出版這本書，情況可能會大不相同。因為在這本書出版幾周后，霍普金斯和另外兩位研究人員就宣布斯奈斯對讀者的警告非常貼切，這讓數學家們大吃一驚：世界末日假說是正確的。他們證明了，滿足Kervaire不變量1的流形不可能存在于254維及以上的空間 https:///abs/0908.3724 。 這個結果讓數學家們陷入了奇怪的境地。在無限可能的維度中，只有一種維度上的形狀仍然無法分類。用羅切斯特大學數學家、末日假說證明的共同作者之一道格拉斯·拉文內爾（Douglas Ravenel，1947 -）的話來說，那里“有一個很大的懸而未決的問題”。它就是126維。
2011年，徐宙利以研究生身份來到芝加哥大學，計劃研究流形的計算方面。他的導師彼得·梅（Peter May，1939 -）提出了126維問題，數學家們認為這個問題可能涉及海量計算。梅將徐宙利推薦給西北大學的馬克·馬霍瓦爾德（Mark Mahowald，1931 - 2013）。馬霍瓦爾德是Kervaire不變量問題的專家，他甚至用Kervaire不變量問題的一個關鍵符號 ——θj ，即“Theta jay”——來命名他的帆船。 但2013年去世的馬霍瓦爾德當時立即否決了這項提議。他告訴徐宙利，126維問題太難了——“這將是一個終生難題”。于是，他引導這位年輕的數學家去研究低維空間的相關問題 https://annals.math./2017/186-2/p03 。 但對于徐宙利來說，126維問題仍然是“一個永恒的迷戀源泉”，他說。
王國禎研究復雜對象，以深入了解超乎想象的高維形狀。 圖源：王國禎 解決這個問題的潛在策略并不神秘。數學家們早就知道，關于奇異球面和其他流形的關鍵秘密被編碼在被稱為穩定同倫群 https://www./an-old-conjecture-falls-making-spheres-a-lot-more-complicated-20230822/ 的球面中（參閱 小樂數學科普：本月又有一個數學猜想被年輕數學家無情推翻——拓撲學的望遠鏡猜想被證否）。這些是函數的集合，或者說是“映射”，它們將點從高維球面發送到低維球面。 例如，想象一下，一個映射將44維球面中的每個點映射到33維球面中的一個點。這個映射本質上壓縮了大球面的11個維度。如果你在小球面上選擇一個點，并找到大球面上所有映射到該點的點，這些點通常會形成一個11維流形。 現在考慮較小球面上的所有不同點。粗略地說，每個點都會生成另一個11維流形。因此，你的映射不僅僅創建了一個11維流形，而是創建了一桶11維流形。 穩定同倫群（stable homotopy group）是其中每個元素都是類似這種映射的集合。 數學家們知道，要解決給定維度的Kervaire不變量問題，他們只需要理解該維度的穩定同倫群 https://mathscinet./mathscinet/relay-station?mr=0148075 。只有一個難點：理解穩定同倫群是拓撲學中最具挑戰性和基礎性的問題之一。“我不指望在我孫女們的有生之年這個問題能被解決，”拉文內爾說。 因此，數學家們開始逐步解決這個問題。自1958年以來，他們一直在將穩定同倫群結構的信息整理成一個龐大但尚未完成的點圖集，稱為亞當斯譜序列（Adams spectral sequence）https://link./article/10.1007/BF02564578 。
林偉南（復旦大學）編寫了一個計算機程序，幫助他和他的同事解決了幾十年來關于高維形狀奇怪性質的猜想。 圖源：吳重霖（復旦大學） 想象一本有無限頁的書，每頁由無限多列點組成。讓我們打開這本書，查看其中一頁。這一頁上的每一列代表一個維度。給定列中的每個點代表該維度上球面映射的一種不同潛在“風味”。這種風味通常有兩種類型，例如“常規”或“超脆”（即，例如，Kervaire不變量0或1）。 從某些方面來看，這本書極其重復——每一頁都有相同的列，每列中也有很多相同的點。但隨著翻頁，你會注意到一個關鍵的區別：每一頁都依次刻畫到球面映射和流形的更精細的細節。這本圖集的前幾頁只是對真相的近似。隨著翻頁，這種近似會越來越好，直到圖集的最后一頁——被稱為“無限”頁——呈現得完美無缺。 瀏覽圖集就像用越來越強大的望遠鏡探索流形的宇宙。在第一頁，每個流形的細節都很模糊，許多實際上不屬于其中的流形被錯誤地包含進去了。但如果你制造了一個更好的望遠鏡，你或許能夠檢測到某個流形存在一些“缺陷”，從而將其排除在圖集之外。在這種情況下，你需要刪除圖集所有后續頁面上相關的點。如果你的望遠鏡沒有發現任何缺陷，那么這個點就會保留到下一頁，在那里你或許可以期待用更強大的望遠鏡來觀察它。
參閱：小樂數學科普：本月又有一個數學猜想被年輕數學家無情推翻——拓撲學的望遠鏡猜想被證否 1969年，威廉·布勞德（William Browder，1934 - 2025）證明了圖集第126列中的一個特定點 https://www./stable/1970686 是解決該維度下Kervaire不變量問題的關鍵。 如果這個點保留到無窮大頁面，那么126維流形的桶（桶必然同時包含兩種類型：一半的桶由Kervaire不變量為零的流形組成，另一半由Kervaire不變量為1的流形組成）。如果這個點不存在，那么126維流形就只有一種類型，即Kervaire不變量為零。 對于第126列中的特殊點，有105種不同的假設方式使其在無窮大頁面之前消失。為了解決這些可能性，徐宙利與他的長期合作伙伴、前大學室友王國禎合作。他們開發了新的計算技術，并將它們傳授給了徐宙利從研究生時期就認識的數學家林偉南。 林偉南編寫了一個程序，能夠排除其中101種可能性。隨后，研究人員又花了一年時間精心開發了新的方法，排除了最后四種可能性。他們得出結論，布勞德的特殊點確實可以保留到無窮大頁面——這意味著126維空間中存在具有Kervaire不變量1的流形。 霍普金斯表示，在該團隊宣布這一消息之前，數學家們認為這樣的計算遙不可及。他補充道，這項新工作“在計算方面堪稱英雄”。其方法最終或許能幫助數學家繪制出更多巨型圖集。 雖然這篇新論文證明了在126維空間中存在奇異的扭曲形狀，但卻沒有給出如何構建這些形狀的線索。研究人員已經在前四個特殊的Kervaire維度（2、6、14和30）中發現了特定的扭曲形狀。 但至今尚未有人在62維或126維空間中發現這樣的形狀，盡管在存在這些形狀的每個維度中，它們都占據了所有可能形狀的一半。盡管它們數量眾多，“我們實際上無法指出其中一種，”蒂爾曼說道。 如果數學家們真的弄清楚了如何在62維和126維空間中構造扭曲形狀，或許能為他們提供一些線索，解釋這六個維度的特殊之處——為什么只有在這些維度上才能構建如此扭曲的形狀。 “通常，當[類似]的事情發生時，都會出現一些非常漂亮的構造，”霍普金斯說。“它非常短暫，因為它只能成功五六次，而不是無限次。” 這項新研究“讓真正嘗試尋找這六個維度的特殊構造變得更具啟發性。” 而科維爾問題只是亞當斯譜序列中編碼的一種維度奇異性。特殊的Kervaire維度對應于圖集第二行中的六個特殊點。最近，徐宙利和哥本哈根大學的羅伯特·伯克倫德（Robert Burklund）發現，圖集第三行中少數幾個特殊維度似乎表現出另一種奇異的行為。https://link./article/10.1007/s00222-024-01298-6 。目前尚無人知曉這些維度中的特殊點究竟對應著什么樣的奇異流形——但數學家們希望能找到答案。 徐宙利表示，后續的發現也可能會陸續出現。“之后應該還會有更多故事等著我們去探索。”
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