上一篇主要介紹了期權的一些基礎概念，包括delta和gamma，并用一個簡單的例子說明了在delta hedge是怎么賺錢的，關鍵就在于long gamma。這里必須要再次強調這個邏輯中的幾個重要的概念。

（1）假設初始狀態時delta neutral和long gamma，則無論標的股票上漲還是下跌，portfolio都能賺錢。

（2）賺錢的多少只取決于gamma的大小和股票變化的幅度，和變化的方向無關。

（3）當股票價格變化后，delta也會從0變成一個正數或負數，因此為了保持delta neutral，需要以一定的頻率進行dynamic hedge。

（4）No free lunch.

之所以要再三強調和方向無關只和幅度有關，是為了引出volatility的概念。在期權領域常說的volatility有realized volatility和implied volatility，上一篇中已經用一個例子簡單地說明了兩者的關系，本篇將主要用兩部分數學推導來說明具體的關系，為了幫助理解將會做一些簡化。

1.Taylor Expansion

這一部分的推導是完全model free的，只是簡單利用泰勒展開進行一些推理，當然使用泰勒展開的時候有一個自然的假設是展開到幾階。我們假設有一個二元函數f(S,t)，我們假設對第一個自變量S進行二階展開，對第二個自變量進行一階展開。

這個式子說明的是函數f的變化是如何取決于兩個自變量的變化的。現在我們把函數f看作是“期權價格”，S看作是標的股票價格，t則是到期時間。根據我們對于希臘字母的定義，上式可以重新寫為：

這個式子告訴我們，期權價值取決于時間的流逝、標的股票的變化及其平方，各自的敏感度就是我們的希臘字母theta、delta、gamma。接下來如果我們把f從“期權價格”重新定義為“投資組合價格”，上式依然成立。此時我們在期權的基礎上加上一些標的股票使得整個組合delta為0，由于股票的theta和gamma都是0，因此這個期權+股票的組合價格f可以寫成如下：

上式說明了這樣一件事情，對于一個delta neutral的portfolio來說，其P&L（df）只取決于theta和gamma。在這個推理框架下，f只依賴于S和t，而時間t的流逝是確定的，因此唯一的風險源是S，而對于delta neutral的組合來說它對沖了S的風險，因此根據no free lunch，該組合只能獲得無風險收益率（這里可以假設為0），因此最后的結論是theta P&L應該和gamma P&L互相抵消。這個結論初步回答了上一篇的問題：delta hedge策略似乎永遠在賺錢？答案就是會有所謂的期權的時間價值來彌補。

到這里我們已經能發現gamma對應的二階項已經可以近似認為代表realized volatility了。假設theta是恒定的話，那顯然只要股票波動的越劇烈，gamma P&L就越有可能大于theta P&L，整個portfolio更有可能賺錢。那具體要波動得多劇烈才能達到breakeven呢？這就需要第二部分的推論了。

2.Black Scholes

這里直接給出Black Scholes中最后的那個偏微分方程。

這個式子不像第一部分的泰勒展開，為了得到這個式子是需要一系列假設的，這里就不再贅述。特別指出這里的sigma就是所謂的implied volatility，和bs模型的假設有關。和上面一樣，我們假設無風險利率r是0，并用希臘字母代替求導得到：

這里的希臘字母和第一部分的希臘字母的定義是相同的，因此可以直接代入第一部分的最后一個式子，可得：

這就是最終我們需要的式子。來分析一下每個部分。括號外面的gamma乘以S平方就是我們上一篇中定義的dollar gamma；括號內的第一項是真正的realized volatility，是收益率的平方；括號內的第二項是implied volatility，當然兩個volatility都取了平方，其實更接近于variance的概念，不過這不重要。

有了這個式子就可以清晰地看到breakeven在哪里了，結論是realized volatility=implied volatility。根據bs的定義，implied volatility是在你買入的時候被包含在定價中的，implied volatility越高期權價格越貴。Realized volatility是在持有期間股票實現的波動。所以為什么implied volatility越高期權越貴呢，就是因為它其實是對未來一段時間內realized volatility的一個“expectation”，它越大意味著市場認為未來股票波動越劇烈，delta hedge策略能賺的收入就越多，因此你今天需要支付的成本也應該越大，again，no free lunch。

這就是為什么long gamma是在long volatility，也解釋了你需要多大的realized volatility才能不虧錢。但這并不是終點，這個推論只是generally true，有的時候在一段時間中即使realized volatility大于implied volatility，你依然會虧錢，這是由于上式中的gamma是時變的而非恒定的，因此這個df是path-dependent的，后續會介紹一些更復雜的衍生品來專門解決這個問題。

最后想說的是，一般交易員稱上述的P&L為gamma P&L或者叫carry，實際當中真正的portfolio P&L還有一些其他因素影響，比如其他的希臘字母和交易費用等等。這個后續會慢慢介紹。