傅立葉變換，這個被廣泛應用于科學、工程和數學的強大工具，通常被理解為一種從時域到頻域的轉換機制。但要真正掌握它，我們需要進一步剖析其背后的數學原理。

令f為一個由R到R的函數。在典型情況下對于f并沒有什么可說的，但是有些函數具有有用的對稱性質。例如，若對于每一個x都有f(-x)=f(x)，就說f是一個偶函數，而若對每一個x有f(-x)=-f(x)，就說f是一個奇函數。進一步說，每一個函數都可以寫成一個偶函數f_e（稱為f的偶部）和一個奇函數f_o（稱為f的奇部）的疊加。例如，函數

既不是偶的，也不是奇的，但是，它可以寫成

其中

對于一般的函數f，這種分解是唯一的，而由公式

和

給出。

偶函數和奇函數有什么樣的對稱性呢？下面是一個對待它們的有用的方法。有一個由實數軸上的兩個變換構成的群：一個變換是恒等變換：

另一個是反射：

實軸上的任意變換Φ都會誘導出定義在實軸上的函數的變換如下：給定一個定義在實軸上的函數f，變換后的函數就是g(x)=f(Φ(z))。對于當前的情況，若

則變換后的函數是就是f(x)本身，而若Φ=p，則得到f(-x)。若f是偶函數或奇函數，則變換后的函數是原來函數f的標量倍數。特別是若Φ=p，則當f為偶函數時，變換后的函數仍為f(x)，而作為倍數的標量是1；當f為奇函數時，則變換后的函數是-f(x)而這個標量是-1。

上面描述的過程可以看作是傅里葉變換的一般概念的很簡單的原型。非常廣泛地講，一個傅里葉變換就是一種把非常“一般”的函數分解為“對稱”函數的疊加的系統方法。這些對稱的函數通常都是顯式定義的，例如，最重要的就是分解為三角函數 sin(nx)和cos(nx) 的線性組合，它們也時常與頻率和能量這些物理概念相關。對稱性一般是與一個群G相聯系的，這個群又通常是阿貝爾群（在上面的例子中，它是一個含兩個元素的群）。

阿貝爾群的特點在于，它滿足交換律，也就是說，無論怎樣調換元素的運算順序，運算結果都是相同的。

說真的，傅里葉變換是研究群的理論，準確一些說是研究群表示理論的基本工具，這個理論關注的就是一個群可以怎樣在不同方式下看成是對稱群。傅里葉變換也與線性代數的一些主題有關，例如，向量之表示為規范正交基底的線性組合，或者表示為一個矩陣或線性算子的本征向量的線性組合。

現在來看一個比較復雜的例子。固定一個正整數n，我們要給出一個把由C到C的函數，即復平面上的復函數加以分解的系統方法。若f是這樣一個函數，而j是介于0到n-1間的整數，我們說f是一個j階諧振子，如果它有以下的性質：

即若ω是1的一個n階本原單位根：

這時，對于任意的復數z∈C，有

注意，若n=2，則ω=-1，所以若j=0就會回到偶函數的定義，而若j=1，就回到奇函數的定義。事實上，受到這件事的啟發，就會得到把f分解為諧振子的一般公式，而這種展開也是唯一的。其作法如下：若定義

則證明對于任意復數z∈C有

只是一個簡單的習題，而且還有

這樣，f可以分解為諧振子之和。這就是一個傅里葉變換，而與它相聯系的群就是n階單位原根：

即n階循環群。

現在考慮無限群。令f為定義在單位圓周T上的一個復函數。為了避免一些技術上的問題，假設f為光滑的，即無限可微的。如果f是一個形狀簡單的函數

n是一個整數，而c是一個常數，則f有n階的旋轉對稱性。即是說，若再令

則對于任意復數z∈C，f(ωz)=f(z)。從前面的例子看到，并不驚奇，任意光滑函數f都可以表示為這種旋轉對稱函數的疊加。事實上，有

數

稱為f在頻率為n處的傅里葉系數，而由下式給出：

這個公式可以看作是上面fj(z)的公式，當z限制在單位圓周上且n趨于無窮時的極限。它也可以看作是全純函數的泰勒級數的推廣：若f在閉單位圓盤上是全純的，則有

而泰勒系數an由下式給出

一般說來，傅里葉分析與復分析有很緊密的聯系。

全純函數（又稱解析函數或正規函數）是復分析中的基本概念。它是在復數域上定義并滿足某些特性的函數。

給定復變量 z，如果函數 f(z) 在其定義域內的每一點都存在復導數，那么這個函數就稱為全純函數。簡單地說，全純函數就是在其定義域內處處可微的復函數。

如果f是光滑的，則其傅里葉系數衰減于0非常快，而很容易證明其傅里葉級數

但是，如果f不是光滑的（例如只是連續的），問題就微妙多了，這時必須仔細確定這個級數收斂的確切的意義。實際上調和分析的相當一部分就是在討論這一類問題，以及解決這類問題所需的工具。

與傅里葉分析的這種講法相關的群是圓周的群T。注意，我們既把數

看成圓周上的一點，又把它看成旋轉一個角θ。這樣，這個圓周和它的旋轉對稱群可以等同起來。但是還有第二個群在這里也很重要，即所有整數所成的加法群Z。如果取兩個基本的對稱函數z^m和z^n并把它們乘起來，就會得到z^（m+n），所以映射

就是由Z到這些函數在乘法下所成的群的同構。群Z就稱為T的龐特里亞金對偶。

在偏微分方程以及調和分析的相關領域里，最重要的傅里葉變換是定義在歐幾里得空間R^d上的。在所有的函數

取平面波：

為“基本的”函數，這里ξ∈R^d是一個向量（稱為平面波的頻率），x·ξ是位置向量x和頻率向量ξ的數量積，

注意，形如

是正交于向量ξ的（超）平面，在每一個這樣的集合上，平面波f(x)取常數值，而f在H_λ上的值與在H_λ+2π上的值相同。平面波一詞即由此而來。可以證明，若f相當“好”(例如是光滑的，而且當x變大時衰減到0相當快)，它就可以唯一地表示為平面波的疊加，不過這里的“疊加”要用一個積分而不是求和來表示。更確切地說，有

其中

而前一個公式則稱為逆傅里葉變換公式。這兩個公式告訴我們怎樣從原來的函數求出其傅里葉變換，以及相反。我們可以把

可以證明，當f相當“好”的時候，論證這些積分的收斂性毫無困難，然而當f比較粗糙或者衰減得不太快的時候，這些問題又變得很微妙，在R^d上的傅里葉變換的情況下，相關的群是歐幾里得群R^d

還要注意，現在位置x和頻率ξ都含于R^d內，所以R^d在這個背景下，正是自己的龐特里亞金對偶。

傅里葉變換的一大用途是用它來理解作用在函數上的各種算子，例如，R^d上的拉普拉斯算子，給定一個函數f:R^d→C，拉普拉斯算子△f的定義是

這里把向量x寫成分量形式，而把f看成d個實變量的函數：

為了避免技術細節，只考慮那些足夠光滑使得上式有意義而不產生困難的情況。一般說來，一個函數f和它的拉普拉斯算子△f之間并無明顯的關系。但是，若f是平面波

則二者有明顯的關系：

就是說拉普拉斯算子作用在平面波上的效果就是把它乘以標量：

換句話說，

（一般說來，平面波將是任意與平行移動可交換的線性算子的本征函數）。所以，透過傅里葉變換的棱鏡來看拉普拉斯算子是很簡單的：傅里葉變換使我們能把任意的函數寫成平面波的疊加，而拉普拉斯算子在每一個平面波上的效果又很簡單，講清楚一點，就是

此式給出了拉普拉斯算子作用在一般函數上的公式。在這里交換了拉普拉斯算子與積分的次序，對于適當好的函數，這是可以嚴格論證的，但是我們略去細節。

這個公式把△f表示為平面波的疊加。此外，逆傅里葉變換的公式又告訴我們

但是，一個函數表示為平面波的疊加的方法是唯一的，所以

這一個事實當然也可以由傅里葉變換的定義直接導出，這個恒等式說明，傅里葉變換把拉普拉斯算子對角化，就是說，從傅里葉變換看來，對某個函數施加拉普拉斯算子，無非就是把這個函數的傅里葉變換F(ξ)乘以乘子

換言之，拉普拉斯算子可以看成一個傅里葉乘子。這句話的意思是，如果想要計算拉普拉斯算子對于一個函數的作用，可以先取這個函數的傅里葉變換，乘上乘子，再取逆傅里葉變換。這個觀點使得拉普拉斯算子的操作變得很容易。例如，可以迭次使用這個公式來計算拉普拉斯算子的各次冪：

事實上，現在已經可以定義拉普拉斯算子的更加一般的函數。例如，可以取拉普拉斯算子的平方根如下：

這就會引導到分數階微分算子理論，還有更一般的函數演算理論，在其中，我們從某一個算子（如拉普拉斯算子）開始，然后研究這個算子的各種函數，例如平方根、指數、倒數，等等。

正如上面的討論所表明的那樣，傅里葉變換可以用來發展許多有趣的運算，而這對于微分方程理論有特別的重要性。為了有效地分析這些運算，需要傅里葉變換的種種估計。例如，了解一個函數f的用某種范數表示的大小，與其傅立葉變換的可能用其他范數來表示的大小的關系，這時常是重要的。關于這一點的進一步討論可見條目函數空間。這種類型的估計中特別重要而又驚人的是普蘭舍利公式

它表明，一個函數的傅里葉變換的L?范數與原來函數的L?范數恰好相等。所以，傅里葉變換是一個酉變換，因此可以把一個函數的頻率空間表示看成是它的物理空間表示的某種意義的旋轉。

在線性代數中，一個酉變換（Unitary Transformation）是一個保持向量內積不變的線性變換，也就是說，如果你有兩個向量，在變換前后，它們的內積保持不變。

發展與傅里葉變換以及相關算子的進一步的估計是調和分析的很大一個部分。普蘭舍利恒等式的一個變體的傅里葉變換的卷積公式

這個公式使我們能用兩個函數f和g的傅里葉變換來分析它們的卷積

特別是，若f或g的傅里葉變換很小，則我們可以期望它們的卷積f*g也很小。這個關系意味著傅里葉變換控制了一個函數和它自己以及和其他函數的某些相關性，這就使得傅里葉變換成了研究隨機性以及概率理論、調和分析和數論中的其他對象的均勻分布性質的重要工具。例如，我們可以追隨這個思想來確立中心極限定理，這個定理表明許多獨立隨機變量的和最終會像是一個高斯分布；我們甚至可以用這個方法來證明維諾格拉多夫定：任意充分大的奇數都是三個素數之和。

以上這些思想可以在多個方向上推廣。例如，可以用比較一般的算子代替拉普拉斯算子，用這個算子的（廣義）本征函數代替平面波，這樣就得到譜的理論和函數演算。也能抽象地研究傅里葉乘子的代數，這就引導到C'-代數。還可以越出線性算子理論來研究雙線性、多線性甚至完全非線性算子，這特別會引導到仿積的理論。仿積是點態乘積運算(f(x)，g(x))→fg(x)的推廣，它在微分方程中有重要性。

在另一個方向上，也能用更一般的群來代替R^d，這時，平面波的概念就會被群特征標概念（在阿貝爾群的情況）取代，或者被群的表示（在非阿貝爾群的情況）所取代。傅里葉變換還有其他變體，如拉普拉斯變換、梅林變換，它們在代數上很像傅里葉變換，而且作用也相似（例如，拉普拉斯變換在微分方程上所起的作用）。我們已經看到傅里葉變換與泰勒級數有關，它還與其他重要的級數展開式有聯系，需要提到的有狄利克雷級數，以及函數按特殊多項式的級數展開，例如，按正交多項式或球面調和的展開式。

傅里葉變換是把函數分成許多成分，而每一個成分恰好有一個準確的頻率。但在有些應用中，采取一種比較“模糊”的途徑更為有用。這時，函數被分解成的成分數目要少一些，但是每一個成分所含的頻率構成一個頻段，而不是單個頻率。這樣一種分解有一個優勢，就是受到不確定性原理的限制較少，因為按照不確定性原理，一個函數及其傅里葉變換不可能同時局限在R4的很小的區域里。這樣會導致傅里葉變換的某些變體，如小波變換，它對許多應用數學和計算數學問題更為適合，也對某些調和分析和微分方程的問題更為適合。對于量子力學起基本作用的不確定性原理也把傅里葉變換與數學物理聯系起來，特別是經典物理和量子物理的聯系，可以通過幾何量子化和微局部分析的方法作嚴格的研究。