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《一瓣心香》（節(jié)選）: 歐拉公式完美嗎？ ——日記《數(shù)學(xué)在哪？》追述 易亞蘇  X（一）歐拉公式 歐拉公式： 
歐拉公式被譽(yù)為最完美的數(shù)學(xué)公式，因?yàn)?.自然對數(shù)的底e含在其中；2.最重要的常數(shù)π含在其中（提示π作為常數(shù)是十進(jìn)制數(shù)）；3.最重要的虛數(shù)單位i含在其中；4.最重要的運(yùn)算符號(hào)+（加號(hào)）含在其中；5.最重要的關(guān)系符號(hào)=（等號(hào)）含在其中；6.最重要的兩個(gè)實(shí)數(shù)0和1也含在其中。如果真是如此，說它是最完美的數(shù)學(xué)公式，可謂當(dāng)之無愧。（二）歐拉公式推導(dǎo) 歐拉公式真的完美嗎？ 說一簡單命題：大于零的數(shù)的任意次方大于零。 如果a>0，n為任意數(shù)，那么a^n>0。 將歐拉公式e^iπ+1=0進(jìn)行簡單移項(xiàng)，e^iπ= -1。歐拉公式中，e>0,那么e^n>0。于是您會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題，e^iπ大于零嗎？e^iπ= -1成立嗎？  數(shù)學(xué)的熏陶讓我們明白，一個(gè)數(shù)的負(fù)次方即為這個(gè)數(shù)的正次方的倒數(shù)。大于零的數(shù)的任意次方——無論是正次方、還是負(fù)次方——其得數(shù)皆是大于零的。怎樣理解自然對數(shù)的底e的虛數(shù)次方問題？回顧一下歐拉公式的推導(dǎo)過程。 歐拉公式推導(dǎo)部分過程：  小結(jié)：大于零的數(shù)的任意次方大于零（本日記命題）；e大于零，e的任意次方不可能等于-1，故歐拉公式某些表達(dá)式存在嚴(yán)重漏洞。 （三）歐拉公式推導(dǎo)存在問題及原因 關(guān)注以上“歐拉公式推導(dǎo)部分過程”（2）、（3）和（4），您會(huì)發(fā)現(xiàn)問題原因所在。從（2）到（4）： 一是存在數(shù)學(xué)進(jìn)制的隨意混用。在歐拉公式中，作為e的iπ次方的π是常數(shù)，為十進(jìn)制；而cosπ和sinπ中π使用180°進(jìn)行運(yùn)算，為六十進(jìn)制。歐拉公式推導(dǎo)中進(jìn)行了兩種進(jìn)制的混用。 二是存在數(shù)學(xué)概念引用的混亂。實(shí)數(shù)與虛數(shù)是不同的數(shù)學(xué)概念。發(fā)明虛數(shù)的人沿用實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則去運(yùn)算虛數(shù)，卻并未證明其運(yùn)算的合理性與可信度。歐拉公式中e的i虛數(shù)次方或180°次方，數(shù)學(xué)上尚未作定義。 概念不能亂用，概念的亂用往往難以察覺。說話前把概念弄懂，討論時(shí)把概念弄同。數(shù)制不可混用，數(shù)制的混用時(shí)時(shí)都在發(fā)生。運(yùn)算前把數(shù)制弄清，計(jì)算時(shí)把數(shù)制弄準(zhǔn)。 （四）歐拉公式其它表達(dá) 萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler），1707年4月15日生于瑞士巴塞爾，1783年9月18日卒于俄國圣彼得堡。歐拉創(chuàng)設(shè)了許多數(shù)學(xué)符號(hào)，例如π（1736年）、i（1777年）、e（1748年）、sin和cos（1748年）、tg（1753年）、x（1755年）、Σ（1755年）、f(x)（1734年）等。歐拉是人類最杰出的數(shù)學(xué)家之一，令人尊敬。 筆者喜歡歐拉公式這樣的表達(dá)：  這個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式仿佛提醒關(guān)注三角函數(shù)和虛數(shù)的關(guān)系，個(gè)中或許還隱藏著未來探索的未知或方向。 （推薦參閱《雅俗日記》中《詞玉十雕》序列《易經(jīng)》“數(shù)理別論：‘?dāng)?shù)的美麗悖論’淺陋初知”和《觸類旁通》序列《從數(shù)的分類看數(shù)學(xué)未來》） （五）歐拉公式剖析聯(lián)想 一流數(shù)學(xué)家談?wù)f命題（概念清晰的真命題），二流數(shù)學(xué)家列出等式（形式簡明的符號(hào)式），三流數(shù)學(xué)家嚴(yán)謹(jǐn)推證（推導(dǎo)無疵的全過程）。只談?wù)f數(shù)學(xué)公式美丑的不入流。不假思索的崇媚，無疑是大腦萎縮的一種表現(xiàn)。思考數(shù)學(xué)公式美丑，不如思考大腦為何萎縮。哲學(xué)的美丑皆在內(nèi)涵，所謂外觀的美，充其量只能形容漂亮，談不上美。 雨后山林，陰涼潮濕的叢林中會(huì)有蘑菇生出，而最美麗的蘑菇往往是最有毒的蘑菇。 憑欄望，古人山依在；溝壑縱橫已茫茫，雪架天梯何處去。能不憶江南。 二〇一八年十二月七日星期五日記（2），松柏鎮(zhèn)，神農(nóng)架雪 |
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