背景故事

巴菲特、比爾格羅斯、西蒙斯等頂級投資大師其實都在用凱利公式，凱利公式也被譽為投資界最重要的公式。在講凱利公式之前，我先給大家講一個關于凱利公式的背景故事。

1960年，一位麻省理工的青年教授愛德華·索普在一間辦公室門口焦急的等待著。他有一篇關于研究21點概率的數學論文想發表在美國科學院院刊(PNAS)上，這個院刊是當時數學學科最高規格的院刊，論文需要美國科學院院士的舉薦，而當時麻省理工唯一的數學學科院士是信息論創始人克勞德·艾爾伍德·香農。雖然同在麻省理工學院，但索普只是一個博士剛畢業的年僅29歲的青教，而香農是已經成名的學術泰斗，兩者很難相提并論。香農的助理出來叮囑他，告訴他一會只有幾分鐘時間，要抓重點講，不要浪費香農院士的時間，這更加劇了他忐忑不安的心情。

很快，索普見到了香農，一位有些消瘦但眼神機警的中年人。

索普向香農展示了自己關于21點的概率計算和策略思路，通過他計算的策略可以把21點從一個莊家占優勢的賭局轉變為玩家占優勢。香農詢問了他各種策略的細節，嘗試尋找了可能的瑕疵，原定幾分鐘的會面從上午聊到中午、共進午餐后又一直聊到了傍晚。

最后香農非常愉快的答應幫索普舉薦這篇論文，同時建議索普去看他在貝爾實驗室的同事約翰·凱利1956年寫的論文，通過約翰·凱利的下注公式可以進一步優化索普的21點策略。而這個約翰·凱利的下注公式，就是我們常說的凱利公式。

接下來的幾個月，索普結合凱利公式對策略進行了再計算和調整，進一步增加了該21點策略的穩定性，成功投稿到了美國科學院院刊。同時，他也準備在接下來的美國數學學會年度會議上演講，演講題目就是“財富公式：21點策略”。

但美國數學學會年度會議的規格非常之高，美國數學學會是有嚴格的審查制度的，審查委員會對該21點策略的第一反應是拒絕，因為歷史上數學家們已經證明了幾乎全部的標準賭博游戲中不存在任何獲勝策略。理論上，如果這些賭博游戲歷史上如果存在制勝策略，該賭局就相當于被破解了，賭場有可能會因此虧錢最終關掉該賭博游戲。這就好比突然有一個人冒出來說自己發明了永動機一樣荒唐。

但當時美國知名數論家約翰·塞爾福里奇院士也看到了論文，他發現這篇論文是純粹的數學研究且具備很高的可信度，在塞爾福里奇院士的擔保下，這篇論文被允許在美國數學學會的年度會議上演講。

這次演講大獲成功，演講現場所有打印出來的論文被一掃而空。但很快受到了大量的質疑，索普決定親自在賭場上實際測試該策略。在兩位百萬富翁提供資金的情況下，他們去了內華達州的各大賭場測試了該策略驗證了策略有效性。

賭場并不是省油的燈，雖然他們用數學成功破解了21點賭局，但遇到了一系列的問題。遇到了包括但不僅限于出老千、下毒和制造車禍等操作。比如在他們贏了較大金額時，部分賭場就會出老千，在一位曾經是魔術師的資深賭客的幫助下，他們識破了大部分出千方法。在賭場中，索普還遇到過下毒，在喝了一口賭場提供的咖啡的情況下昏睡了數個小時。其中一次在賭場贏了錢后，發現自己的車的剎車被動過手腳，時速一度超過120公里/小時無法剎車，差點在山路上出了車禍。

他們一周時間就在內華達州的賭場中贏了數萬美元，然后成功上了大部分賭場的黑名單。不過后面索普慶幸自己沒有繼續贏下去，他后面了解到當時內華達州的賭場是由美國第二大黑幫管理的，贏了黑幫的錢對于一個年輕學者來說很難全身而退。贏了幾萬美元就遇到了下毒和車禍，再贏下去估計自己性命要交代在賭場里面了。

既然測試了策略大獲成功，且沒法鋌而走險去賭場贏錢了。索普決定把策略公開出來賺版稅，于是他寫了一本《擊敗莊家》詳細講述了他的21點策略，這本書1962年11月出版，一出版就成功大賣，直接登上了紐約時報1964年的暢銷榜。

《擊敗莊家》這本書使得很多算牌高手都投入到21點賭局中。賭場一開始采用的方法是監控算牌者，如果出現了較為明顯的算牌現象，比如一會下大注一會下小注的情況時，就把這個人趕走。后面這個方法治標不治本，因為有一些人會一直下小注，然后在最關鍵的幾把下大注賺錢。

由于算牌者的出現，21點這個賭局確實賺不到錢了。1964年，各大賭場聯合21點協會修改了規則，原先牌堆里面發出去的牌是不放回去洗牌的，但改成了會放回去重新洗牌，另外不允許加注了，堵死了索普的算牌方法。

但這樣改了之后，很快21點這個游戲就沒人玩了。于是賭場沒辦法，只能把游戲規則改到了一個折中情況，以前21點只有一副牌，但現在21點是八副牌一起洗。八副牌一起洗實際上依然可以算牌，但算牌難度大大增加了。索普提到，如果有人能夠在25秒內算完場上的牌的話，事實上依然可以獲得很大優勢，但這很難，尤其是八副牌一起算就更難了。

21點的故事非常精彩，但這只是開始。

索普意識到，華爾街才是最大的賭場。他發現利用凱利公式和概率計算能夠完美的在金融市場上賺到錢。索普后來從麻省理工辭職，于1969年創立了人類歷史上第一只量化對沖基金，主要做衍生品統計套利，拉開了量化投資的序幕。索普也是世界上最大的量化基金城堡Citadel的天使投資人。

1998年，索普報告稱，他在 28.5 年內平均年化回報率為 20%。

2002年，索普把對沖基金關掉了轉為家族信托，家族信托交給他兒子管，自己隱退幕后。

制勝策略的核心

首先給大家科普一下，現代數學已經對賭場的全部賭局的公平性進行計算，計算后發現21點是賭場中最公平的游戲，21點莊家的優勢只有0.32%；第二是百家樂，莊家的優勢是1.06%；第三是擲骰子，莊家的優勢為1.41%。這個優勢是指莊家勝率和玩家勝率之間的差。

21點本身是一個非常接近于公平的游戲，但這個公平是按照全部概率分布而言的，按照平均概率來說這個賭局是一個幾乎公平的游戲。但隨著發牌的推進，牌庫中剩余的牌越來越少，通過剩余牌的概率分布變化，越往后賭客和莊家的勝率和賠率會發生變化。在某些特定牌局情況下玩家優勢可以達到5%甚至10%，在特定牌局的情況下是玩家占優的。如果結合記牌和下注，賭客可以從特定剩余牌局中找到優勢。然后如果結合凱利公式下注，這個優勢還能被進一步放大。這就是索普制勝策略的核心。

投資也是一樣的，一開始你可能并不處于優勢狀態。但隨著時間的推進，你了解的信息越來越多，最終可能演化出來的平行宇宙在不斷減少，最終的概率分布越來越接近明牌。未來無法預測，我們無法掌握未來的全部信息，但我們可以推導出一些可能性，拿到一些相對市場來說微不足道的優勢。最終我們掌握的信息可以讓我們在特定投資機會上存在一定的優勢贏面，我們隨時根據未來可能演化出來的平行宇宙調整下注策略，再通過凱利公式把微弱的優勢切切實實拿到手，最終在特定投資機會上賺到錢。

凱利公式的核心就是，時刻判斷當前局面下的勝率和賠率，不斷動態調整下注倉位！

價值投資常說的就是能力圈。從凱利公式的角度看，在你的能力圈之內處于信息優勢，在能力圈之外處于信息劣勢，在能力圈內下注。等待機會，等待局勢變得明朗再出擊，等到最完美的機會一擊制勝。每個人都會遇到類似的機會，可能就在你能掌握的信息之內，只要你細心觀察，就能判斷出來合適的時機。

在任何領域中都是一樣的，在一個你有優勢的領域中，伴隨著局勢變得越來越明朗，機會也會逐步變得清晰。判斷未來走勢不斷調整自己的下注量，最終找到致勝的局面。

何為凱利公式

講了這么多，終于來到了正題。這里我直接摘抄了我之前自己寫推導過程，數學基礎好的小伙伴可以看一下。大伙可以直接記結論：

記倉位為f、勝率為p、賠率為b

f = p -（1-p）/b

倉位 = 勝的概率 - 輸的概率/賠率

簡化版本在賠率b=1的情況下，凱利公式可以表述為2p-1，這個值實際上就是你相對對手盤勝率的差，也就是你相對對手盤的優勢。如果你的勝率是60%，對手的勝率是40%，那么你們之間的勝率差為20%，應該下20%的注。

但現實情況下，賠率可能不為一，比如我就是靠賠率賺錢的。我的賠率大約是一比二，勝率大約是50%，那么我的凱利倉位應該為50%-（1-50%）/2=25%，每次最多下25%倉位。

巴菲特曾提到自己會用凱利公式，對沖基金經理 Mohnish Pabrai 拍賣得到2008年巴菲特的午餐時，巴菲特給他展示了在投資情況中使用凱利公式的案例。從那個案例中我們可以發現，巴菲特使用的簡單版本的，在賠率為1情況下的凱利公式。

f=2p-1

倉位=勝率*2-1

因為這個簡化版本的凱利公式方便計算，推薦大家在下注前心算一下凱利倉位，然后再進行下注。

比如說，猜大小這個賭局你的勝率是50%，按照簡化版凱利公式50%*2-1=0，你的下注量為0，理論上你不應該投入任何時間精力在這個游戲中。

比如說，你的交易記錄證明了你在這個標的上有55%的勝率，按照簡化版凱利公式那么你的下注倉位應該為55%*2-1=10%。也就是你在這個機會上最多下10%的倉位。

比如說，你的交易記錄證明了你依靠賠率賺錢，雖然勝率只有40%，但你的賠率能夠達到2:1，按照完整版凱利公式你的下注倉位應該為40%-60%/2=10%。

但你可能會發現，無論如何應用計算，凱利公式的下注倉位都是相對保守的，可能大幅度低于你平時習慣的下注倉位。

請注意，超過凱利倉位的下注可能就是你虧損的根源。

過猶不及

比如一個勝率是50%的猜大小游戲，如果他的概率分布也完全獨立隨機，那么按照凱利公式告訴我們，倉位=50%*2-1=0，應該完全不參與這個游戲。如果你一旦投入了時間精力在這個游戲上，事實上就帶來了時間精力上的虧損，運氣不好的時候還會虧錢。

如果你認為你的勝率是60%，那么在賠率為1的情況下，下注量=60%-40%=20%，即使你有60%的把握，也最多下20%的注。

在投資的世界里面，相信我，60%已經是最高一檔的勝率了，大部分高手的勝率都不會超過55%。即使有微弱的勝率優勢，最終你也能構建穩定盈利的策略。

國家規定基金單票持倉上限一般不能超過20%，這其實是凱利倉位限制的。事實上，任何一個成熟的投資組合都不會允許單票上限超過20%，過度倉位下的下注實際上是有害的。

下圖為過度下注的模擬，圖中藍色線代表按照凱利下注的財富增長曲線、綠色代表按照原始下注方式財富增長曲線、紅色代表按照2.5倍凱利公式倉位得到的財富曲線。

可以看到凱利公式下注代表的藍線是增速最快的但波動比原始版本大，原始版本的下注增長也不慢，但如果是2.5倍凱利公式反而是負增長的。

即使在一個期望為正的游戲里面，如果沒有嚴格遵守凱利公式的倉位管理，可能最終反而是虧錢的。也就是我們說的過猶不及。如果超過凱利倉位過多，最終得到的反而是非常差的結果。值得注意的是，一開始2.5倍凱利公式的收益率是比凱利公式收益率更高的，但在后面大數定律才體現出來，收益率開始斷檔滑坡，可能是個別幾次虧了大錢的結果。

索普有一句名言，“當你過度下注時，你將失去一切”。

索普已經證明，如果你的下注量超過了凱利倉位，最終的收益率反而是下降的。而如果你的下注量超過了兩倍凱利倉位，那么最終收益率是負數的，長此以往必然破產。

高手永不下桌

華爾街有老的交易員，也有大膽的交易員，但沒有又老又膽大的交易員。

凱利公式最終能致勝的秘訣在于，永遠不給自己會一把輸光下桌的可能性。

贏面較大的時候可以適當多下注，但通過凱利公式下注可以防止自己因為一時的壞運氣被迫離場。

大家如果剛接觸凱利公式，必然會覺得這個東西非常神奇，直接套用即可。但這其實并不是難點，計算公式本身并不重要。

現實是，人們總是會高估自己的勝率和賠率。歷史上的勝率賠率并不能代表未來的勝率賠率，即使根據歷史，也很容易把自己的勝率賠率高估。

美盛資本管理公司的首席投資策略官Michael Mauboussin研究發現，人總是會高估自己的預測勝率。他做了一個線上測試，測試者答題并選擇自己對所選答案的信心，然后得到下面的統計分布。人們的自信心，往往比實際能力略高一些，這是常態。統計了過去幾十年關于對通脹對利率等各種預測的數據后，人類對于經濟活動的預測準確度，其實也是這個分布，即越自信越有可能偏離。

人們認為自己的勝率是50%時，最終的真實勝率是51%；

人們認為自己的勝率是60%時，最終的真實勝率是56%；

人們認為自己的勝率是70%時，最終的真實勝率是57%；

人們認為自己的勝率是80%時，最終的真實勝率是60%；

人們認為自己的勝率是90%時，最終的真實勝率是65%；

人們認為自己的勝率是100%時，最終的真實勝率是77%；

沒有人有足夠的自知之明，每個人都會在刻意美化和高估自己。

人性決定了，沒有人能夠合理的估計自己的勝率和賠率。

這種情況下，如果使用錯誤的方式估算自己的勝率和賠率很容易高估自己的倉位，使得最終下注超過了凱利公式允許的倉位上限。

比如你認為這件事的把握是80%，你可能會下80%*2-1=60%的倉位，但事實上你真實世界的勝率是60%，你只能下60*2-1=20%的倉位。注意，你實際上已經下了三倍凱利倉位的值。而索普已經證明了，兩倍以上的凱利倉位必然破產。也就是說，再多來幾次，如果你按照人性平均水平高估了自己，你必然會因為過度下注破產。

因為人性總是會高估自己，加上凱利公式必然會懲罰過度下注的人，讓兩倍以上凱利倉位的人破產，所以第一步是要謹慎估計自己的勝率和賠率。有時候并不是下注更多就能更好的，倉位合適才是最重要的。

索普認為，更好的方式是半凱利甚至幾分之一凱利。

索普還通過模擬指出，在樣本足夠大的情況下，一點七倍杠桿下破產幾乎是注定的，杠桿是破產最大的風險。

其實巴菲特也有杠桿，但因為巴菲特本質上可以利用保險的浮存金，他沒有實質性的破產風險。我身邊即使擅長使用杠桿的老手，他們一般都不會超過1.7倍杠桿。這背后可能是因為喜歡使用1.7倍以上杠桿的人最終被市場淘汰了。

同樣的，單票滿倉風險也很大。滿倉單票意味著你超過了全部凱利倉位上限，意味著把身家性命完全交給隨機性。風險有時候來自于外界，并不是你自己真的做錯了什么。比如你一個炒短線的滿倉買了長生生物，直接突然黑天鵝32個一字跌停板，根本出不來。真要出現這種情況，你甘心嗎？但你要是看長生生物出事前一天的走勢，完全正常，從各種指標上都挑不出毛病，但他就是出事了，最終32個一字跌停板直接導致身家清零。

如果你看到某個人是一直單票滿倉最后賺錢了的，那么還有一個可能性就是他雖然滿倉了，但這筆錢在他的全部資金中占比并不高，他擁有更多子彈可以補倉。我認識的有經常單票滿倉的大佬，但人家賬上的錢實際上可能只有他身家的十分之一，且人家賺錢后會不斷轉錢出來。表面上他股票賬戶里面是滿倉的，但人家一直有補倉的子彈。凱利公式的本質是，不同的局面對應合適的下注，倉位恰如其分的反應了你當前狀態下的優勢。

尾聲

在某次采訪中，愛德華.索普給了大家四個他認為最有價值的建議：

1、專家的意見經常是毫無價值的。你要獨立思考。

2、好好讀一讀塔勒布的書“隨機漫步的傻瓜”。里面有一個重要的點，大部分公開“信息”都是“噪音”，這些都應該無視。

3、如果你自己做主動管理，你應該要享受這個過程，并且在你擅長的地方去做。

4、保持閱讀和學習。